Презентация на тему «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Тема урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного

интеграла»

11 класс. Алгебра и начала математического анализа.

Учитель математики Кутенкова Т.В. ГБОУ СОШ № 527 Санкт-Петербург

Цели урока:

- Обучающие: повторить и обобщить типы задач на вычисление площадей фигур, в том числе фигур сложной геометрической конфигурации,классифицировать задачи, систематизировать способы решения, скорретировать знания, познакомиться с историей развития интегрального исчисления; - развивающая: научить мыслить и оперировать математическими знаниями, стимулировать мышление учащихся; - воспитательная: развивать у учащихся коммуникативные компетенции (умение работать в группе, культуру общения), способствовать развитию интеллектуальной деятельности учащихся.

"

План урока

I. Блиц – опрос. Повторение основных теоретических знаний II. Практическое применение знаний III. Защита домашних задач IY. Постановка проблемы (обобщение) Y. Коррекция знаний по теме YI. Историческая справка YII. Подведение итогов YIII. Домашнее задание

Блиц - опрос

В чем заключается геометрический смысл интеграла? Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Как найти площадь фигуры в случае, если f(x)?0 на [a;b]?

Интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции

Фигура, ограниченная отрезком оси абсцисс, прямыми x=a, x=b, графиком непрерывной функции f(x)?0 на [a;b]

Задайте аналитически фигуру

У = х? , у = 2, у = 1

Y = arccos x, у = 0, x = -1

Y = х?, у = 0, х = -?2, х = ?2

Y = 2 - х?, у =1

У = х?, у = 2

Какие из заданных фигур являются криволинейными трапециями

Площадь какой фигуры можно найти без помощи интеграла?

Вычислите площади фигур I гр. на рис. 2 II гр. на рис 3 III гр. на рис 5

Площадь каких фигур можно найти как разность площадей криволинейных трапеций?

Почему фигура на рис. 4 не является криволинейной трапецией?

1

2

3

4

5

6

Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Вычислите интегралы:

10,5

1

64

1

1).

2).

3).

4).

Задача II группы

График функции у=х? - парабола График функции у=? х? -парабола У=2х – прямая Sф = SОАЕ+SЕАВ = (SОАД - SОЕД) +(S ДАВС – SДЕВС)

E

Х

±2

±1

0

У

4

1

0

Х

±4

±2

±1

0

У

8

2

0,5

0

Х

0

4

У

0

8

Выполним вычисления, применив свойство аддитивности интеграла

Задача iiI группы

Sф = SВСD + SDСМ + SDMN + SMNF = = SABCD – SABD + SDCM + SDMN + SMNFK - SMKF

Выполним вычисления, применив свойство аддитивности интеграла

Постановка проблемы (обобщение)

Проблема: Как с помощью интеграла вычислить площадь фигуры, не являющейся криволинейной трапецией? Задачи на вычисление площадей фигур с помощью интеграла можно классифицировать по виду геометрических фигур, площади которых необходимо вычислить

Решение проблемы

Классификация задач

Фигура, полученная отсечением от криволинейной трапеции прямоугольника Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f(x)?0 на [a;b] Фигура, ограниченная графиками непрерывных функций y=f(x), y=g(x), f(x)?g(x) ?0 и прямыми x=a, x=b Фигура, ограниченная графиками непрерывных функций, заданных различными формулами на различных промежутках

Что поможет упростить вычисление площадей фигур

Свойство симметрии фигуры

Применение свойств интеграла (свойство аддитивности)

Перемещение фигуры (сдвиг вдоль оси Оу)

Пример

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2.

y

5

y = x

B

C

D

A

y = 5 - x

0

1

2

5

x

Немного истории

«Интеграл» придумал Якоб Бернулли (1690г.) «восстанавливать» от латинского integro «целый» от латинского integer

«Примитивная функция»,

от латинского primitivus – начальный, ввел Жозеф Луи Лагранж (1797г.)

Интеграл в древности

Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен.

Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга.

Архимед

Евдокс Книдский

Исаак Ньютон (1643-1727)

Наиболее полное изложение дифференциального и интегрального исчислений содержится в «Методе флюксий...» (1670–1671, опубликовано в 1736).

Переменные величины - флюенты(первообразная или неопределенный интеграл)

Скорость изменения флюент – флюксии (производная)

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716)

Символ образовался из буквы S — сокращения слова summa (сумма)

впервые использован Лейбницем в конце XVII века

Определенный интеграл

Г. Лейбниц

И. Ньютон

Формула Ньютона - Лейбница

Где

Таким образом, уже Архимед успешно находил площади фигур, несмотря на

то, что в математике его времени не было понятия интеграла Но лишь интегральное исчисление дает общий метод решения всех подобных задач Недаром даже поэты воспевали интеграл

Итоги урока

Что планировали

Что сделали

1.Классифицировали задачи 2.Систематизировали способы решения 3.Скорректировали знания 4.Совершили экскурс в историю 5. Подготовились к контрольной работе по данной теме.

Обобщить знания по теме «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла»

Символ интеграла в жизни

Лист самооценки

Навыки и умения

Отметка

1.

Построение графиков функций

2.

Выделение площади искомой фигуры

3.

Определение общих точек графиков функций и пределов интегрирования

4.

Выражение площади искомой фигуры через площади криволинейных трапеций или других фигур

5.

Применение свойств фигур для упрощения решения

Спасибо за урок

Домашнее задание: п.58; № 1017, 1018