№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Тема урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенногоинтеграла» 11 класс. Алгебра и начала математического анализа. Учитель математики Кутенкова Т.В. ГБОУ СОШ № 527 Санкт-Петербург |
2 |
 |
Цели урока:- Обучающие: повторить и обобщить типы задач на вычисление площадей фигур, в том числе фигур сложной геометрической конфигурации,классифицировать задачи, систематизировать способы решения, скорретировать знания, познакомиться с историей развития интегрального исчисления; - развивающая: научить мыслить и оперировать математическими знаниями, стимулировать мышление учащихся; - воспитательная: развивать у учащихся коммуникативные компетенции (умение работать в группе, культуру общения), способствовать развитию интеллектуальной деятельности учащихся. " |
3 |
 |
План урокаI. Блиц – опрос. Повторение основных теоретических знаний II. Практическое применение знаний III. Защита домашних задач IY. Постановка проблемы (обобщение) Y. Коррекция знаний по теме YI. Историческая справка YII. Подведение итогов YIII. Домашнее задание |
4 |
 |
Блиц - опросВ чем заключается геометрический смысл интеграла? Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Как найти площадь фигуры в случае, если f(x)?0 на [a;b]? Интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции Фигура, ограниченная отрезком оси абсцисс, прямыми x=a, x=b, графиком непрерывной функции f(x)?0 на [a;b] |
5 |
 |
Задайте аналитически фигуруУ = х? , у = 2, у = 1 Y = arccos x, у = 0, x = -1 Y = х?, у = 0, х = -?2, х = ?2 Y = 2 - х?, у =1 У = х?, у = 2 |
6 |
 |
Какие из заданных фигур являются криволинейными трапециямиПлощадь какой фигуры можно найти без помощи интеграла? Вычислите площади фигур I гр. на рис. 2 II гр. на рис 3 III гр. на рис 5 Площадь каких фигур можно найти как разность площадей криволинейных трапеций? Почему фигура на рис. 4 не является криволинейной трапецией? 1 2 3 4 5 6 |
7 |
 |
Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:1) 2) 3) 4) 5) 6) |
8 |
 |
Вычислите интегралы:10,5 1 64 1 1). 2). 3). 4). |
9 |
 |
|
10 |
 |
|
11 |
 |
|
12 |
 |
Задача II группыГрафик функции у=х? - парабола График функции у=? х? -парабола У=2х – прямая Sф = SОАЕ+SЕАВ = (SОАД - SОЕД) +(S ДАВС – SДЕВС) E Х ±2 ±1 0 У 4 1 0 Х ±4 ±2 ±1 0 У 8 2 0,5 0 Х 0 4 У 0 8 |
13 |
 |
Выполним вычисления, применив свойство аддитивности интеграла |
14 |
 |
Задача iiI группыSф = SВСD + SDСМ + SDMN + SMNF = = SABCD – SABD + SDCM + SDMN + SMNFK - SMKF |
15 |
 |
Выполним вычисления, применив свойство аддитивности интеграла |
16 |
 |
Постановка проблемы (обобщение)Проблема: Как с помощью интеграла вычислить площадь фигуры, не являющейся криволинейной трапецией? Задачи на вычисление площадей фигур с помощью интеграла можно классифицировать по виду геометрических фигур, площади которых необходимо вычислить Решение проблемы |
17 |
 |
Классификация задачФигура, полученная отсечением от криволинейной трапеции прямоугольника Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f(x)?0 на [a;b] Фигура, ограниченная графиками непрерывных функций y=f(x), y=g(x), f(x)?g(x) ?0 и прямыми x=a, x=b Фигура, ограниченная графиками непрерывных функций, заданных различными формулами на различных промежутках |
18 |
 |
Что поможет упростить вычисление площадей фигурСвойство симметрии фигуры Применение свойств интеграла (свойство аддитивности) Перемещение фигуры (сдвиг вдоль оси Оу) |
19 |
 |
ПримерВычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2. y 5 y = x B C D A y = 5 - x 0 1 2 5 x |
20 |
 |
Немного истории«Интеграл» придумал Якоб Бернулли (1690г.) «восстанавливать» от латинского integro «целый» от латинского integer «Примитивная функция», от латинского primitivus – начальный, ввел Жозеф Луи Лагранж (1797г.) |
21 |
 |
Интеграл в древностиПервым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Архимед Евдокс Книдский |
22 |
 |
Исаак Ньютон (1643-1727)Наиболее полное изложение дифференциального и интегрального исчислений содержится в «Методе флюксий...» (1670–1671, опубликовано в 1736). Переменные величины - флюенты(первообразная или неопределенный интеграл) Скорость изменения флюент – флюксии (производная) |
23 |
 |
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716)Символ образовался из буквы S — сокращения слова summa (сумма) впервые использован Лейбницем в конце XVII века |
24 |
 |
Определенный интегралГ. Лейбниц И. Ньютон Формула Ньютона - Лейбница Где |
25 |
 |
Таким образом, уже Архимед успешно находил площади фигур, несмотря нато, что в математике его времени не было понятия интеграла Но лишь интегральное исчисление дает общий метод решения всех подобных задач Недаром даже поэты воспевали интеграл |
26 |
 |
Итоги урокаЧто планировали Что сделали 1.Классифицировали задачи 2.Систематизировали способы решения 3.Скорректировали знания 4.Совершили экскурс в историю 5. Подготовились к контрольной работе по данной теме. Обобщить знания по теме «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла» |
27 |
 |
Символ интеграла в жизни |
28 |
 |
Лист самооценкиНавыки и умения Отметка 1. Построение графиков функций 2. Выделение площади искомой фигуры 3. Определение общих точек графиков функций и пределов интегрирования 4. Выражение площади искомой фигуры через площади криволинейных трапеций или других фигур 5. Применение свойств фигур для упрощения решения |
29 |
 |
Спасибо за урокДомашнее задание: п.58; № 1017, 1018 |
«Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла» |
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/vychislenie-ploschadej-ploskikh-figur-s-pomoschju-opredelennogo-integrala-71961.html