Многогранник
<<  Многогранники в искусстве Многогранники, их основные элементы и виды  >>
Выпуклые многогранники
Выпуклые многогранники
Свойство 1
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 2
Упражнение 1
Упражнение 1
Упражнение 2
Упражнение 2
Упражнение 3
Упражнение 3
Упражнение 4
Упражнение 4
Упражнение 5
Упражнение 5
Упражнение 6
Упражнение 6
Упражнение 7
Упражнение 7
Упражнение 8
Упражнение 8
Упражнение 9*
Упражнение 9*
Упражнение 10*
Упражнение 10*
Упражнение 11*
Упражнение 11*
Упражнение 12*
Упражнение 12*
Упражнение 13*
Упражнение 13*
Упражнение 14*
Упражнение 14*
Упражнение 15*
Упражнение 15*
Два выпуклых многогранника будем называть двойственными, если вершины
Два выпуклых многогранника будем называть двойственными, если вершины
Какой многогранник является двойственным к n-угольной пирамиде
Какой многогранник является двойственным к n-угольной пирамиде
Какой многогранник является двойственным к n-угольной призме
Какой многогранник является двойственным к n-угольной призме

Презентация: «Выпуклые многогранники». Автор: *. Файл: «Выпуклые многогранники.ppt». Размер zip-архива: 256 КБ.

Выпуклые многогранники

содержание презентации «Выпуклые многогранники.ppt»
СлайдТекст
1 Выпуклые многогранники

Выпуклые многогранники

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.

Куб, параллелепипед, треугольные призма и пирамида являются выпуклыми многогранниками.

На рисунке приведены примеры выпуклой и невыпуклой пирамиды.

2 Свойство 1

Свойство 1

В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

3 Свойство 2

Свойство 2

Всякий выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Действительно, пусть M - выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь внутреннюю точку S многогранника M, т. е. такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками. Заметим, что в силу выпуклости многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.

4 Упражнение 1

Упражнение 1

На рисунке укажите выпуклые и невыпуклые плоские фигуры.

Ответ: а), г) – выпуклые; б), в) – невыпуклые.

5 Упражнение 2

Упражнение 2

Докажите, что пересечение двух или нескольких выпуклых фигур является выпуклой фигурой?

Решение. Пусть Ф1, …, Фn – выпуклые фигуры. Ф – их пересечение. Если точки A, B принадлежат Ф, то они принадлежат фигурам Ф1, …, Фn. В силу выпуклости этих фигур, в них содержится и отрезок AB. Следовательно, отрезок AB содержится и в их пересечении Ф. Значит, Ф – выпуклая фигура.

6 Упражнение 3

Упражнение 3

Всегда ли объединение выпуклых фигур является выпуклой фигурой?

Ответ: Нет.

7 Упражнение 4

Упражнение 4

На рисунке укажите выпуклые и невыпуклые многогранники.

Ответ: б), д) – выпуклые; а), в), г) – невыпуклые.

8 Упражнение 5

Упражнение 5

Может ли сечением выпуклого многогранника плоскостью быть невыпуклый многоугольник?

Ответ: Нет.

9 Упражнение 6

Упражнение 6

Нарисуйте какую-нибудь невыпуклую призму.

10 Упражнение 7

Упражнение 7

Нарисуйте какую-нибудь невыпуклую пирамиду.

11 Упражнение 8

Упражнение 8

Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.

12 Упражнение 9*

Упражнение 9*

Докажите, что для любого n > 7 существует многогранник с n ребрами.

Решение. Если n = 2k (k >2), то примером многогранника с n ребрами является k-угольная пирамида. Если n = 2k +3 (k > 2), то примером многогранника с n ребрами является k-угольная пирамида, у которой отрезан один угол при основании, как это было сделано ранее.

13 Упражнение 10*

Упражнение 10*

Докажите, что для у любого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом ребер. Приведите пример многогранника, у которого нет трех граней с одинаковым числом ребер

Решение. Рассмотрим грань многогранника с наибольшим числом ребер. Обозначим это число ребер n. К этой грани примыкают n граней, числа ребер которых могут быть 3, …, n. Таких чисел n – 2. Следовательно, среди этих n граней найдутся грани, имеющие одинаковое число ребер.

14 Упражнение 11*

Упражнение 11*

Докажите, что для у любого многогранника найдутся две вершины, в которых сходится одинаковое число ребер. Приведите пример многогранника, у которого нет трех вершин с одинаковым числом ребер

Решение. Рассмотрим вершину многогранника с наибольшим числом ребер. Обозначим это число ребер n. Концами этих ребер являются n вершин, числа ребер которых могут быть 3, …, n. Таких чисел n – 2. Следовательно, среди этих n вершин найдутся вершины, в которых сходится одинаковое число ребер.

15 Упражнение 12*

Упражнение 12*

Докажите, что для у любого многогранника число граней с нечетным числом ребер четно.

Решение. Предположим, что число граней с нечетным числом ребер нечетно. Тогда общее число ребер в этих гранях будет нечетным. Общее число ребер в гранях с четным числом ребер четно. Поэтому число ребер всех граней будет нечетно. Однако каждое ребро входит ровно в две грани, и при подсчете ребер, входящих в грани, мы считали каждое ребро дважды, т.е. оно должно быть четным. Противоречие. Следовательно, число граней с нечетным числом ребер должно быть четно.

16 Упражнение 13*

Упражнение 13*

Докажите, что для у любого многогранника число вершин, в которых сходится нечетное число ребер, четно.

Решение. Предположим, что число вершин с нечетным числом ребер нечетно. Тогда общее число ребер в этих вершинах будет нечетным. Общее число ребер в вершинах с четным числом ребер четно. Поэтому число ребер всех вершин будет нечетно. Однако каждое ребро соединяет ровно две вершины, и при подсчете ребер мы посчитали каждое ребро дважды, т.е. оно должно быть четным. Противоречие. Следовательно, число вершин с нечетным числом ребер должно быть четно.

17 Упражнение 14*

Упражнение 14*

Докажите, что если многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани, то он выпуклый.

Решение. Если многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани, то он является пересечением полупространств, ограниченных плоскостями граней. Так как полупространства являются выпуклыми фигурами, то и их пересечение является выпуклой фигурой.

18 Упражнение 15*

Упражнение 15*

Докажите, что выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

19 Два выпуклых многогранника будем называть двойственными, если вершины

Два выпуклых многогранника будем называть двойственными, если вершины

одного из них находятся во взаимно однозначном соответствии с гранями другого, при этом две вершины одного многогранника соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие грани другого многогранника являются соседними. Например, куб и октаэдр являются двойственными многогранниками.

Двойственные многогранники

20 Какой многогранник является двойственным к n-угольной пирамиде

Какой многогранник является двойственным к n-угольной пирамиде

Упражнение 16

21 Какой многогранник является двойственным к n-угольной призме

Какой многогранник является двойственным к n-угольной призме

Упражнение 17

«Выпуклые многогранники»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/vypuklye-mnogogranniki-170031.html
cсылка на страницу

Многогранник

29 презентаций о многограннике
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды