Презентация на тему «Взаимное расположение окружностей»

Прямая и окружность

Прямая и окружность могут:

А) не иметь общих точек;

б) иметь только одну общую точку. В этом случае прямая называется касательной к окружности. Общая точка называется точкой касания;

в) иметь две общие точки. В этом случае говорят, что прямая пересекает окружность.

Теорема

Теорема 1

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то эти прямая и окружность не имеют общих точек.

Доказательство. Пусть расстояние от центра О окружности до прямой а больше радиуса R окружности. Опустим из центра О перпендикуляр ОА на эту прямую. Тогда ОА > R. Для любой другой точки B на прямой а наклонная ОB будет больше перпендикуляра ОА и, следовательно, больше R. Таким образом, расстояние от любой точки прямой а до центра О больше R. Значит, прямая а и окружность не имеют общих точек.

Расстояние от центра окружности до прямой

Теорема 2

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к окружности.

Доказательство. Пусть расстояние от центра О окружности до прямой а равно радиусу R окружности. Опустим из центра О перпендикуляр ОА на эту прямую. Тогда ОА = R. Для любой другой точки B на прямой а наклонная ОB будет больше перпендикуляра ОА и, следовательно, больше R. Таким образом, расстояние от любой точки прямой а, отличной от А, до центра О больше R. Значит, прямая а и окружность имеют одну общую точку А, т.е. прямая касается окружности.

Расстояние

Теорема 3

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность пересекаются.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии.

Отрезки касательных

Теорема 4

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Доказательство. Рассмотрим две касательные к окружности с центром в точке О, проведенные из точки А и касающиеся окружности в точках В и С. Треугольники АОВ и АОС прямоугольные, ОВ=ОС и сторона АО общая. По признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе), они равны. Следовательно, АВ=АС.

Какая прямая называется касательной к окружности

Вопрос 1

Какая прямая называется касательной к окружности?

Ответ: Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Какая прямая называется пересекающей окружность

Вопрос 2

Какая прямая называется пересекающей окружность?

Ответ: Прямая пересекает окружность, если она имеет с окружностью две общие точки.

Окружность

Вопрос 3

В каком случае прямая и окружность не имеют общих точек?

Ответ: Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности.

В каком случае прямая касается окружности

Вопрос 4

В каком случае прямая касается окружности?

Ответ: Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.

Угол

Вопрос 5

Какой угол образуют касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания?

Ответ: 90о.

В каком случае прямая и окружность пересекаются

Вопрос 6

В каком случае прямая и окружность пересекаются?

Ответ: Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности.

Что можно сказать об отрезках касательных к окружности

Вопрос 7

Что можно сказать об отрезках касательных к окружности, проведенных из одной точки?

Ответ: Они равны.

Сколько касательных к данной окружности можно провести через данную точку на окружности

Упражнение 1

Сколько касательных к данной окружности можно провести через данную точку на окружности?

Ответ: Одну.

Сколько касательных к данной окружности можно провести через данную точку

Упражнение 2

Сколько касательных к данной окружности можно провести через данную точку, расположенную: а) внутри окружности; б) вне окружности?

Ответ: а) Ни одной;

Б) две.

Сколько можно провести окружностей, касающихся данной прямой

Упражнение 3

Сколько можно провести окружностей, касающихся данной прямой?

Ответ: Бесконечно много.

Сколько можно провести окружностей, касающихся данной прямой в данной точке

Упражнение 4

Сколько можно провести окружностей, касающихся данной прямой в данной точке?

Ответ: Бесконечно много.

Сколько можно провести окружностей данного радиуса

Упражнение 5

Сколько можно провести окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой в данной точке?

Ответ: Две.

Может ли прямая иметь с окружностью три общие точки

Упражнение 6

Может ли прямая иметь с окружностью три общие точки?

Ответ: Нет.

Взаимное расположение прямой и окружности

Упражнение 7

Каково взаимное расположение прямой и окружности, если радиус окружности равен 3 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно: а) 4 см; б) 3 см; в) 2 см?

Ответ: а) Не имеют общих точек;

Б) касаются;

В) пересекаются.

Наибольшее расстояние

Упражнение 8

Расстояние d от центра окружности до прямой меньше радиуса R этой окружности. Найдите наибольшее расстояние от точек данной окружности до прямой.

Вид треугольника

Упражнение 9

Определите вид треугольника, изображенного на рисунке, если MA – отрезок касательной, проведенной к данной окружности.

Ответ: Прямоугольный.

Упражнение 10

На рисунке MA, MB, MC - касательные. Верно ли, что MA = MB?

Ответ: Да.

Точка M

Упражнение 11

На рисунке MA, MB, MC - касательные. В каком отношении делит точка M отрезок AB?

Ответ: 1:1.

Сумма

Упражнение 12

На рисунке SH и SQ - отрезки касательных, сумма которых равна 36 см. Найдите периметр треугольника STU, где TU – касательная к данной окружности.

Ответ: 36 см.

Сколько можно провести прямых, касающихся двух данных окружностей

Упражнение 13

Сколько можно провести прямых, касающихся двух данных окружностей, изображенных на рисунке?

Отрезки

Упражнение 14

Докажите, что отрезки АВ и CD общих внутренних касательных к двум окружностям, равны.

Решение

Упражнение 15

Докажите, что отрезки АВ и CD общих пересекающихся внешних касательных к двум окружностям, равны.

Решение: MA = MC, MB = MD, как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Следовательно, AB = CD.

Стороны клеток

Упражнение 16

Найдите длину отрезка AB касательной. Стороны клеток равны 1.

Ответ: 3.

Найдите длину отрезка AB касательной

Упражнение 17

Найдите длину отрезка AB касательной. Стороны клеток равны 1.

Ответ: 3.

Проведите касательную к данной окружности

Упражнение 18

На клетчатой бумаге через точку A проведите касательную к данной окружности.

На клетчатой бумаге из точки A проведите касательные

Упражнение 19

На клетчатой бумаге из точки A проведите касательные к данной окружности.

Касательные к данной окружности

Упражнение 20

На клетчатой бумаге из точки A проведите касательные к данной окружности.