Задачи по геометрии
<<  Построение системы управления инновациями на предприятиях Построение правильного пятиугольника  >>
Задачи на построение с помощью одной линейки
Задачи на построение с помощью одной линейки
О решении задач на построение
О решении задач на построение
Теорема Дезарга
Теорема Дезарга
Доказательство теоремы Дезарга
Доказательство теоремы Дезарга
Для доказательства принадлежности точек U, V, W одной прямой,
Для доказательства принадлежности точек U, V, W одной прямой,
Для ? SАС и секущей (А/С) имеем: Умножим на и поделим на Получаем: В
Для ? SАС и секущей (А/С) имеем: Умножим на и поделим на Получаем: В
Модификации теоремы Дезарга
Модификации теоремы Дезарга
Теорема 2. Дано: ABC и A/B/C/ AA/ // BB/ // CC/ , AB
Теорема 2. Дано: ABC и A/B/C/ AA/ // BB/ // CC/ , AB
Теорема 3. Дано: ABC и A/B/C/ AA/
Теорема 3. Дано: ABC и A/B/C/ AA/
Теорема 4. Дано: ABC и A/B/C/ AA/
Теорема 4. Дано: ABC и A/B/C/ AA/
Применение теоремы Дезарга для построения параллельных прямых (с
Применение теоремы Дезарга для построения параллельных прямых (с
Решение
Решение
В этой задаче первоначальный рисунок ничего не выражает
В этой задаче первоначальный рисунок ничего не выражает
(С /С)
(С /С)
Построение: Берем точки С1, В1
Построение: Берем точки С1, В1
Исследование: Задача всегда имеет единственное решение, так как через
Исследование: Задача всегда имеет единственное решение, так как через
Задача с недоступными элементами
Задача с недоступными элементами
Задача
Задача
Так как точки М и L лежат на одной прямой, то можно рассмотреть их как
Так как точки М и L лежат на одной прямой, то можно рассмотреть их как
Построение: 1. Возьмем точки А, В
Построение: 1. Возьмем точки А, В
Поляра
Поляра
Доказательство: Введем систему координат с началом в точке A, как
Доказательство: Введем систему координат с началом в точке A, как
корни x1 и x2 которого равны абсциссам точек C и D, т.е. AC1 = x1, AD1
корни x1 и x2 которого равны абсциссам точек C и D, т.е. AC1 = x1, AD1
Отсюда, учитывая, что x1(x2 – x0) = AC1 * B1D1 , x2(x0 – x1) = AD1 *
Отсюда, учитывая, что x1(x2 – x0) = AC1 * B1D1 , x2(x0 – x1) = AD1 *
Но в этом случае 2x1x2 2x0x0 = = x0 , x1 + x2 x0+x0 2x1x2 а значит, и
Но в этом случае 2x1x2 2x0x0 = = x0 , x1 + x2 x0+x0 2x1x2 а значит, и

Презентация на тему: «Задачи на построение с помощью одной линейки». Автор: Anna. Файл: «Задачи на построение с помощью одной линейки.ppt». Размер zip-архива: 662 КБ.

Задачи на построение с помощью одной линейки

содержание презентации «Задачи на построение с помощью одной линейки.ppt»
СлайдТекст
1 Задачи на построение с помощью одной линейки

Задачи на построение с помощью одной линейки

Выполнила: Иванченко И.А.

2 О решении задач на построение

О решении задач на построение

Решение задач на построение состоит из 4 этапов: Анализ Построение Доказательство Исследование

3 Теорема Дезарга

Теорема Дезарга

Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух треугольников, пересекаются в одной точке, то соответственные прямые, содержащие стороны треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой (см. рис.)

S

B

A

C

W

V

U

C/

A/

B/

4 Доказательство теоремы Дезарга

Доказательство теоремы Дезарга

Докажем теорему Дезарга с помощью теоремы Менелая. Теорема Менелая. Точки A1 , B1 и C1 , расположенные соответственно на прямых BC, CA, AB и не совпадающие с вершинами треугольника ABC, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда (см. рис.) AB1 CA1 BC1 * * = -1. B1C A1B C1A

C1

A

B1

B

C

A1

5 Для доказательства принадлежности точек U, V, W одной прямой,

Для доказательства принадлежности точек U, V, W одной прямой,

рассмотрим ?АВС и точки U, V, W , лежащие на прямых, содержащих стороны АВ, ВС, АС этого треугольника и докажем, что Для этого применим теорему Менелая для треугольников, SАВ, SBC, SAC и их секущих (A/B/), (В/С/), (А/С/) соответственно. Тогда для ? SАВ и секущей (А/В/) имеем: Для ? SВС и секущей (В/С/) имеем:

S

B

A

C

U

W

V

C/

A/

B/

6 Для ? SАС и секущей (А/С) имеем: Умножим на и поделим на Получаем: В

Для ? SАС и секущей (А/С) имеем: Умножим на и поделим на Получаем: В

итоге получили равенство

S

B

A

C

U

W

V

C/

A/

B/

7 Модификации теоремы Дезарга

Модификации теоремы Дезарга

Теорема 1. Дано: ABC и A/B/C/ таковы, что AA/ ? BB/? CC/ = S, AB ? A/B/ = U, BC ? B/C/ = V, AC ? A/C/ = W. Доказать: что W, V, U лежат на одной прямой.

S

B

A

C

U

V

W

A/

C/

B/

8 Теорема 2. Дано: ABC и A/B/C/ AA/ // BB/ // CC/ , AB

Теорема 2. Дано: ABC и A/B/C/ AA/ // BB/ // CC/ , AB

A/B/ = X, BC ? B/C/ = Y, AC ? A/C/ = Z. Доказать: X, Y, Z лежат на одной прямой.

B

A

C

Z

Y

X

C/

A/

B/

9 Теорема 3. Дано: ABC и A/B/C/ AA/

Теорема 3. Дано: ABC и A/B/C/ AA/

BB/? CC/ = S, AB ? A/B/ = X, BC ? B/C/ = Y, AC // A/C/ Доказать: XY//AC

S

B

C

A

X

Y

A/

C/

B/

10 Теорема 4. Дано: ABC и A/B/C/ AA/

Теорема 4. Дано: ABC и A/B/C/ AA/

BB/? CC/ = S, AB // A/B/, BC // B/C/, Доказать: AC // A/C/ Теорема 5. Дано: ABC и A/B/C/ AA/ // BB/ // CC/ , AB // A/B/ , AC // A/C/ Доказать: BC//B/C/

S

B

A

C

B/

A/

C/

B

A

C

B/

A/

C/

11 Применение теоремы Дезарга для построения параллельных прямых (с

Применение теоремы Дезарга для построения параллельных прямых (с

помощью одной линейки)

Задача. Даны две различные параллельные прямые а и b и точка А, не лежащая на них. Через точку А проведите прямую, параллельную данным прямым.

12 Решение

Решение

Анализ. Пусть задача решена и прямая с проходит через точку А параллельно прямым а и b (см. рис.) Вспомним теорему Дезарга, где треугольники содержат одну пару параллельных сторон (см.теорема3), сопоставим этот рис. и рисунок, иллюстрирующий теорему. Теорема 3

a

?

c

A

b

S

B

C

A

X

Y

A/

C/

B/

13 В этой задаче первоначальный рисунок ничего не выражает

В этой задаче первоначальный рисунок ничего не выражает

В нашем случае прямые а и в – это прямые, на которых лежат две соответственные стороны треугольников с осью с. Тогда точка А является точкой пересечения одной пары соответственных сторон. Ещё одна пара соответственных сторон должна пересекаться в точке, также лежащей на с. Построение, таким образом, сводится к построению двух треугольников, одна пара соответственных сторон которых лежит на прямых а и в. Поэтому на прямых а и в возьмем произвольные отрезки: [С1В1] ? а, [СВ] ? в в качестве соответственных сторон, а вторая пара сторон пересекается в точке А.

a

?

c

A

b

S

B

C

A

X

Y

A/

C/

B/

14 (С /С)

(С /С)

(В/В) = S, S – точка, в которой пересекаются прямые, проходящие через соответственные вершины треугольников. Вторая пара сторон искомых треугольников лежит на прямых (А/С/) и (АС). (Теорема Дезарга, см. рис.)

S

B

A

C

U

W

V

C/

A/

B/

15 Построение: Берем точки С1, В1

Построение: Берем точки С1, В1

а Берем точки С, В, ? в S = (СС1) ? (ВВ1) Проведем произвольную прямую l ? S О1 = l ? (С1А) О = l ? (СА) 6. (В1О1) ? (ВО) = А1 (АА1) = с – искомая l Доказательство: Рассмотрим ?С1О1В1 и ? СОВ. (СС1) ? (ВВ1) ? (ОО1) = S по построению. Точки А = (С1О1) ? (СО) и А1 = (В1О1) ? (ВО) определяют прямую с. Поскольку (С1В1) // (СВ), то с // а // в.

С1

О1

О

S

В1

a

А1

А

B

b

C

16 Исследование: Задача всегда имеет единственное решение, так как через

Исследование: Задача всегда имеет единственное решение, так как через

данную точку можно провести единственную прямую, параллельную данной.

17 Задача с недоступными элементами

Задача с недоступными элементами

Точку называют недоступной, если к ней нельзя применить аксиомы конструктивной геометрии, в частности, аксиома линейки и циркуля. Фигура считается недоступной, если все ее точки недоступны. Недоступная точка считается заданной (известной), если построены отрезки двух прямых, пересекающихся в этой точке.

18 Задача

Задача

Даны две прямые а и в, пересекающиеся в недоступной точке L (т.е. лежащей вне пределов чертежа); построить прямую, соединяющую точку L с данной (доступной) точкой М. Решение. Анализ. Пусть задача решена и прямая с проходит через точку М и точку L (см. рис.) Для проведения анализа вспомним теорему Дезарга и сделаем к этой теореме рисунок. недоступная часть M c

a

L

b

19 Так как точки М и L лежат на одной прямой, то можно рассмотреть их как

Так как точки М и L лежат на одной прямой, то можно рассмотреть их как

точки пересечения соответственных сторон треугольников, а прямые а и в взять как прямые ВС и В'С', то есть прямые, на которых лежат две соответственные стороны треугольников с осью с. Таким образом, построение сводится к построению двух треугольников, две стороны которых лежат на сторонах а и в, а другая пара соответственных сторон пересекаются в точке М. Необходимо построение проводить таким образом, чтобы прямые пересекались в доступной части чертежа.

S

a

M

B

L

A

C

b

U

V

W

A/

C/

B/

20 Построение: 1. Возьмем точки А, В

Построение: 1. Возьмем точки А, В

а; А/, В/ ? b (см. рис.) 2. Точка S = (АА/) ? (ВВ/). 3. Проведем произвольную прямую l: S ? l. 4. С1 = (В/М) ? l, С = (ВМ) ? l. 5. (АС) ? (А/С/) = М1 (ММ1) = с – искомая. Доказательство: Рассмотрим ? АВС и ? А/В/С/. В них: (ВВ/) ? (АА/) ? (СС/) = S (АС) ? (А/С/) = М1, (ВС) ? (В/С/) = М, (АВ) ? (А/В/) = а ? в = L, следовательно, по теореме 1 точки М, М1 и L лежат на одной прямой.

S

A

a

B

С

М1

M

L

С/

В/

А/

b

l

21 Поляра

Поляра

Четыре точки A, B, C, D, лежащие на одной прямой, образуют гармоническую четверку, если AC AD : = -1. CB DB Задача. Из данной точки A проведены к данной окружности с центром O касательные AK1 , AK2 и секущая, пересекающая окружность в точках C и D, а отрезок K1K2 – в точке B. Докажите, что точки A, B, C и D образуют гармоническую четверку.

22 Доказательство: Введем систему координат с началом в точке A, как

Доказательство: Введем систему координат с началом в точке A, как

показано на рисунке. Пусть B1, C1, D1 – проекции точек B, C, D на ось абсцисс. Докажем, что точки A, B1, C1, D1 образуют гармоническую четверку. Отсюда сразу же последует, что точки A, B, C, D также образуют гармоническую четверку. Уравнение окружности запишем в виде (x – a)2 + y2 = R2 (2) где a = AO, R – радиус окружности, а уравнение секущей AD – в виде y = kx (3) где k – некоторое число. Координаты точек C и D удовлетворяют уравнениями (2) и (3). Если подставить y = kx в уравнение (2), то придем к квадратному уравнению (1 + k2) x2 – 2ax + a2 – R2 = 0 (4)

y

K1

D

B

C

A

C1

B1

O

D1

x

K2

23 корни x1 и x2 которого равны абсциссам точек C и D, т.е. AC1 = x1, AD1

корни x1 и x2 которого равны абсциссам точек C и D, т.е. AC1 = x1, AD1

= x2. По теореме Виета 2a a2 – R2 x1 + x2 = , x1x2 = , 1+ k2 1 + k2 2x1x2 a2 – R2 откуда = (5) x1+ x2 a Рассматривая прямоугольный треугольник AOK1 , нетрудно a2 – R2 установить, что AB1 = . Поэтому если положить AB1= x0 , a то равенство (5) можно записать в виде 2x1x2 = x0, или x1(x2 – x0) – x2(x0 – x1) =0. x1+x2

24 Отсюда, учитывая, что x1(x2 – x0) = AC1 * B1D1 , x2(x0 – x1) = AD1 *

Отсюда, учитывая, что x1(x2 – x0) = AC1 * B1D1 , x2(x0 – x1) = AD1 *

C1B1 , получаем: AC1 * B1D1 – AD1* C1B1 =0, а это и означает, что точки A, B1 , C1 , D1 образуют гармоническую четверку. 2x1x2 Замечание. Равенство = x0 можно доказать и не прибегая x1 + x2 к рассмотрению треугольника AOK1. В самом деле, соотношение 2x1x2 a2 – R2 2x1x2 = показывает, что величина не зависит от x1+ x2 a x1 + x2 k, т.е.имеет одно и то же значение для любой прямой, описываемой уравнением y = kx. Возьмем k таким, чтобы уравнение y = kx было уравнением касательной AK1. Тогда оба корня x1 и x2 квадратного уравнения (1 + k2) x2 – 2ax + a2 – R2 = 0 будут равны абсциссе точки K1 , т.е. будут равны x0.

25 Но в этом случае 2x1x2 2x0x0 = = x0 , x1 + x2 x0+x0 2x1x2 а значит, и

Но в этом случае 2x1x2 2x0x0 = = x0 , x1 + x2 x0+x0 2x1x2 а значит, и

для любой другой прямой = x0 x1 + x2 Прямая K1K2 называется полярой данной точки A относительно данной окружности. Если точка B не лежит на поляре, а прямая AB пересекает окружность в точках C и D, то можно сделать такой вывод: если данная точка A лежит вне данной окружности, то множество точек B, для каждой из которых точки пересечения прямой AB и окружности гармонически разделяют точки A и B, представляет собой часть поляры точки A относительно данной окружности, лежащую внутри этой окружности.

«Задачи на построение с помощью одной линейки»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/zadachi-na-postroenie-s-pomoschju-odnoj-linejki-230442.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Задачи по геометрии > Задачи на построение с помощью одной линейки