Представление числовой информации с помощью систем счисления

Представление числовой информации с помощью систем счисления

© Кошля Л.Н. учитель информатики

Системы счисления

Система счисления –совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Позиционные СС

Система счисления

Основание

Алфавит

Десятичная

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Двоичная

2

0 1

Троичная

3

0 1 2

Восьмеричная

8

0 1 2 3 4 5 6 7

Шестнадцатеричная

16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Позиционные СС

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра этого числа. Например, меняя позицию цифры 2 в десятичной системе счисления, можно записать разные по величине десятичные числа, например 2; 20; 2000; 0,02 и т. д. Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

Непозиционные СС

Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII = (X + Х + X) + (I + I) = 30 + 2. Пример 2. Число 444 в римской системе счисления будет записано в виде СDХLIV = (D - С) + (L - X) + (V - I) = 400 +40+4. Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления имеет вид МСМLХХIV = М + (М - С) + L + (X + X) + (V - I) = 1000 + 900 +50+20+4.

Римская СС, в которой независимо от местоположения одинаковый символ имеет неизменное значение (например, символ X в числе XXV).

Непозиционные СС

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков: 1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел. 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Развёрнутая форма записи числа

1. Десятичное число А10=4718,63 в развернутой форме: А10=4·103+7·102+1·101+8·100+6·10-1+3·10-2 2. Двоичное число А2=1001,1 в развернутом виде: А2=1·23+0·22+0·21+1·20+1·2-1 = 8+1+0,5 = 9,510. 3. Восьмеричное число А8=7764,1 в развернутом виде: А8=7·83+7·82+6·81+4·80+1·8-1 = 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 = 4084,12510 4. Запись 3АF16 означает: 3АF16 = 3·162+10·161+15·160 = 768+160+15 = 94310.

Задания для самостоятельного выполнения

1. Какой числовой эквивалент имеет цифра 6 в числах: а) 6789 б) 3650 в) 16 г) 69 2. Сравните числа III и 111, записанные в римской и десятичной системах счисления.. 3. Какие числа записаны римскими цифрами: а) MCMXCIX; б) CMLXXXVIII; в) MCXLVII? 4. Запишите год, месяц и число своего рождения c помощью римских цифр. 5. Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)? а)VII - V=XI б) IX-V=VI в) VI - IX=III г) VIII - III=X

6. Запишите в развернутом виде числа: а) А8=143511; г) А10=143,511;

б) А2=100111; д) А8=0,143511; в) А16=143511; е) А16=1A3,5C1. 7. Запишите в свернутой форме следующие числа: а) А10= 9·101+1·100+5·10-1+3·10-2; б) А16=А·161+1·160+7·16-1+5·16-2. 8. Какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1В16 является: а) наибольшим; б) наименьшим. 9. В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе?

Задания для самостоятельного выполнения

Дополнительные задания

1. В классе 36q учеников, из них 21q девочек и 15q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников? 2. В саду 100q фруктовых деревьев, из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья? 3. Было 100q яблока. После того как каждое из них разрезали пополам, стало 1000q половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет? 4. У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

Пример 1. Перевести десятичное число 17310 в восьмеричную систему счисления: Получаем: 17310=2558 Пример 2. Перевести десятичное число 17310 в шестнадцатеричную систему счисления: Получаем: 17310=AD16.

Задания для самостоятельного выполнения

Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.

101010

127

269

Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Перевести десятичную дробь 0,562510 в двоичную систему счисления. Получаем: 0,562510 = 0,10012

2. Перевести число 0,6562510 в шестнадцатеричную систему счисления

Получаем: 0,6562510 = 0,А816

Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число

должно быть записано в различных системах счисления.

Задания для самостоятельного выполнения

0,101

0,6

0,125

Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

Перевод произвольных чисел

Перевести число 17,2510 в двоичную систему счисления. Получаем: 17,2510= 10001,012

2. Перевести число 124,2510 в восьмеричную систему

Получаем: 124,2510= 174,28

Перевод произвольных чисел

Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное

число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления.

Задания для самостоятельного выполнения

111101,1

233,5

46,5625

Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

1. Переведите числа в десятичную систему счисления: 341,18 125,216 2

Запишите десятичное число в системе счисления с основанием 2. 21,25 34,5 3. Выполните перевод числа по схеме: А8 ?А2?А16. 42,358 52,718

Проверочная работа по теме «Перевод чисел из одной СС в другую»

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Рассмотрим несколько примеров сложения двоичных чисел:

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Рассмотрим несколько примеров вычитания двоичных чисел:

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Рассмотрим несколько примеров умножения двоичных чисел:

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Рассмотрим пример деления двоичных чисел:

Задания для самостоятельного выполнения

1. Выполните арифметические операции: а) 11102 + 10012 б) 678 + 238 в) AF16 + 9716 г) 11102 -10012 д) 678 - 238 е) AF16 - 9716 ж) 11102 ? 10012 з) 678 ? 238 и) AF16 ? 9716 к) 10102 : 102 л) 748 : 248 м) 5A16 : 1E16 2. Вычислите выражения: а) (11111012 + AF16) / 368; б) 1258 + 111012 ? A216 - 14178. 3. Найдите среднее арифметическое следующих чисел: а) 100101102, 11001002 и 1100102; б) 2268, 6416 и 628.

Проверить с помощью Калькулятора правильность выполнения заданий по

переводу чисел из одной системы счисления в другую и выполнения арифметических операций в различных системах счисления.

Вычисления в позиционных системах счисления с использованием калькулятора

Перевод чисел из двоичной СС в восьмеричную и шестнадцатеричную и

обратно

Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2n, нужно: 1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой. 2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.

Пример 1. Число 1011000010001100102 переведем в восьмеричную систему

счисления. Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 5410628. Пример 2. Число 10000000001111100001112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 200F8716.

Перевод целых чисел

Перевод дробных чисел

Пример 1. Число 0,101100012 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,5428. Пример 2. Число 0,1000000000112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 0,80316

Перевод произвольных чисел

Пример 1. Число 111100101,01112 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,348. Пример 2. Число 11101001000,110100102 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D216.

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной СС в двоичную

систему

Пример 1. Переведем шестнадцатеричное число 4АС3516 в двоичную систему счисления. В соответствии с алгоритмом: Получаем: 10010101100001101012.

 Задания для самостоятельного выполнения

Задания для самостоятельного выполнения

1. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную СС числа: 11112; 10101012; 0,011112; 0,101010112; 11,012; 110,1012

2. Перевести в двоичную СС числа: 46,278 EF,1216

Домашнее задание

Провести сложение, вычитание, умножение и деление чисел 10102 и 102. Сложить числа 58 и 48, 178 и 418. Провести вычитание чисел: F16 и A16; 4116 и 1716. Сложить числа: 178 и 1716; 418 и 4116.

Контрольная работа

1. Выполнить перевод чисел из десятичной системы в двоичную: 6410 4810 24110 30110 73610 57610 2. Осуществить сложение чисел в двоичной системе счисления: 6410 + 24110 4810 + 30110 6410 + 73610 4810 + 57610 73610 + 24110 57610 + 30110 3. Осуществить вычитание чисел в двоичной системе счисления: 24110 - 6410 57610 - 30110 73610 - 24110 57610 - 4810 73610 - 6410 30110 - 4810