Презентация на тему «Числовая последовательность»

Числовая последовательность Прогрессия Урок алгебры 9 класс Учитель

математики Седова Н.В.

Установите соответствие

1, 4, 7, 10, 13,…

10,19,37,73,145…

6, 8, 16, 18, 36…

1, 3, 5, 7, 9…

В порядке убывания правильные дроби с числителем 1

В порядке возрастания нечетные числа

В порядке возрастания положительные числа, кратные 5

Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза

Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1

Увеличение на 3

5, 10, 15, 20, 25…

Определение числовой последовательности

Функция an=f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью. Числа a1; a2; a3; a4;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. 1, 2, 3, 4, 5, : - последовательность натуральных чисел; 2, 4, 6, 8, 10, :- последовательность четных чисел; 1, 3, 5, 7, 9, : - последовательность нечетных чисел; 1, 4, 9, 16, 25, : - последовательность квадратов натуральных чисел; 2, 3, 5, 7, 11, : - последовательность простых чисел;

Способ задания числовой последовательности

1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами. Пример 1. Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5. Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так: 0; 5; 10; 15; 20; 25; ... Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом. Решение. Замечаем, что 1=12; 4=22; 9=32; 16=42; 25=52; 36=62; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.

Способ задания числовой последовательности

2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: an=f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности. Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: ak = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности. Решение. a1=3+2?(1+1)=3+4=7; a2=3+2?(2+1)=3+6=9; a3=3+2?(3+1)=3+8=11; a4=3+2?(4+1)=3+10=13. Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... . Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: ak=2k-1.

Способ задания числовой последовательности

3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности. Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {an}, если a1=7; an+1 = 5+an. Решение. a2 =5+a1=5+7=12; a3 =5+a2=5+12=17; a4 =5+a3=5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... . Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {bn}, если b1 = -2, b2 = 3; bn+2 = 2bn +bn+1. Решение. b3 = 2?b1 + b2 = 2?(-2) + 3 = -4+3=-1; b4 = 2?b2 + b3 = 2?3 +(-1) = 6 -1 = 5; b5 = 2?b3 + b4 = 2?(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

Способ задания числовой последовательности

4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a1; a2; a3; a4;… . Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом. Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; an). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n. Получаем: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7). Следовательно, a1= -3; a2=1; a3=4; a4=6; a5 =7. Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.

Монотонность числовой последовательности

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Одним из древних ученых, занимавшихся прогрессиями был Архимед. Он первым обратил внимание на связь между прогрессиями. Название прогрессии следовало из его перевода с греческого – «прогрессио – движение вперед»

Предание о шахматах

О методе сложения натуральных чисел

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле т.е. к формуле суммы первых n чисел натурального ряда.

Определение арифметической прогрессии

Еще одна формула n-ого члена

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой an=kn+b, где k и b – некоторые числа. an=a1+d(n-1)=dn+(a1-d) Последовательность(an), заданная формулой вида an=kn+b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией. an+1-an=k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b+kn-b=k

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность есть арифметическая прогрессия для ее элементов выполняется условие

Задача 1 Найдите формулу n-ого члена числовой последовательности 19, 32, 45, 58, 71… Задача 2 - арифметическая прогрессия.

При каком d сумма имеет минимальное значение

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

Задача 1 Решить уравнение

Задача 2 Даны две арифметические прогрессии: 17, 21… и 16, 21… Найти сумму первых ста чисел, встречающихся в обеих прогрессиях

Интересные факты

Арифметические прогрессии высших порядков Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов следующих целых чисел: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…, Разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью d=2 1, 3, 5, 7, 9, 11… Связь между арифметической и геометрической прогрессиями Пусть арифметическая прогрессия с разностью d и число a положительно, тогда последовательность вида Является геометрической прогрессией со знаменателем