Действия с рациональными числами
<<  Сложение чисел с разными знаками Алгебраические действия над комплексными числами  >>
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Замечание
Замечание
Формула сложения комплексных чисел в новых обозначениях записывается
Формула сложения комплексных чисел в новых обозначениях записывается
Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме,
Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме,
Положив в этой формуле , , получим важное соотношение
Положив в этой формуле , , получим важное соотношение
Или, применяя для произведения сокращенное обозначение , имеем:
Или, применяя для произведения сокращенное обозначение , имеем:
Пример 1
Пример 1
Определение 1
Определение 1
Утверждение
Утверждение
Деление комплексных чисел в алгебраической форме производится согласно
Деление комплексных чисел в алгебраической форме производится согласно
Произведем преобразование другим способом
Произведем преобразование другим способом
Другими словами, чтобы найти частное двух комплексных чисел надо
Другими словами, чтобы найти частное двух комплексных чисел надо
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
В итоге комплексному числу будет сопоставлена точка М плоскости
В итоге комплексному числу будет сопоставлена точка М плоскости
Определение 2
Определение 2
Определение 2
Определение 2
Определение 2
Определение 2
Аргумент числа определяется из формулы при ;
Аргумент числа определяется из формулы при ;
Определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного : ,
Определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного : ,
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Из изображения комплексного числа следует, что , , и, следовательно,
Из изображения комплексного числа следует, что , , и, следовательно,
Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой
Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой
Теорема
Теорема
Теорема
Теорема
Формула называется формулой Муавра в честь английского математика А
Формула называется формулой Муавра в честь английского математика А
Наряду с этой формулой им же была выведена и формула извлечения корня
Наряду с этой формулой им же была выведена и формула извлечения корня
Пусть возведем обе части равенства в степень n и, воспользовавшись,
Пусть возведем обе части равенства в степень n и, воспользовавшись,
В силу равенства двух комплексных чисел получаем равенства: и или и
В силу равенства двух комплексных чисел получаем равенства: и или и
Где k – некоторое целое число, - арифметический корень из
Где k – некоторое целое число, - арифметический корень из
Таким образом, , причем
Таким образом, , причем
Пример
Пример
Получим три значения: ; ;
Получим три значения: ; ;
Переведем комплексное число, записанное в тригонометрической форме в
Переведем комплексное число, записанное в тригонометрической форме в
; ; ; ;
; ; ; ;
Поэтому
Поэтому
Применение формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических
Применение формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических
Пример
Пример
Возведя правую часть в 5-ую степень, получим
Возведя правую часть в 5-ую степень, получим
Пользуемся тем, что
Пользуемся тем, что
Из равенства чисел, получим
Из равенства чисел, получим
Откуда мы поделили числитель и знаменатель на
Откуда мы поделили числитель и знаменатель на
В качестве упражнения преобразовать в сумму
В качестве упражнения преобразовать в сумму

Презентация: «Действия над комплексными числами в алгебраической форме». Автор: Luba. Файл: «Действия над комплексными числами в алгебраической форме.ppt». Размер zip-архива: 171 КБ.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

содержание презентации «Действия над комплексными числами в алгебраической форме.ppt»
СлайдТекст
1 Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда и , т.е. когда равны и действительные и мнимые части комплексных чисел.

2 Замечание

Замечание

Понятия «больше», «меньше» для комплексных чисел не определяются. Записи , и им подобные лишены всякого смысла.

3 Формула сложения комплексных чисел в новых обозначениях записывается

Формула сложения комплексных чисел в новых обозначениях записывается

так: . (1) Она дает правило сложения комплексных чисел в алгебраической форме.

4 Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме,

Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме,

производится следующим образом: . (2)

5 Положив в этой формуле , , получим важное соотношение

Положив в этой формуле , , получим важное соотношение

6 Или, применяя для произведения сокращенное обозначение , имеем:

Или, применяя для произведения сокращенное обозначение , имеем:

7 Пример 1

Пример 1

Найти сумму и произведение комплексных чисел и . Решение. , .

8 Определение 1

Определение 1

Комплексное число называется сопряженным к числу и обозначается .

9 Утверждение

Утверждение

Для любых комплексных чисел имеют место равенства: 1) , 2) , 3) , 4) . Все равенства доказываются непосредственной проверкой.

10 Деление комплексных чисел в алгебраической форме производится согласно

Деление комплексных чисел в алгебраической форме производится согласно

следующей формуле: .

11 Произведем преобразование другим способом

Произведем преобразование другим способом

Умножим числитель и знаменатель на , получим:

12 Другими словами, чтобы найти частное двух комплексных чисел надо

Другими словами, чтобы найти частное двух комплексных чисел надо

числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю.

13 Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Возьмем на плоскости декартову систему координат XOY и изобразим комплексное число точкой плоскости с координатами

14 В итоге комплексному числу будет сопоставлена точка М плоскости

В итоге комплексному числу будет сопоставлена точка М плоскости

Соответствие между комплексными числами и точками координатной плоскости XOY биективно, поэтому иногда множество комплексных чисел отождествляют с множеством точек координатной плоскости.

15 Определение 2

Определение 2

Расстояние от точки О координатной плоскости XOY до точки М, изображающей комплексное число , называют модулем числа и обозначают в виде .

16 Определение 2

Определение 2

Наименьший угол, на который нужно повернуть ось ОХ против часовой стрелки до совпадения ее направления с направлением вектора ОМ, называется аргументом числа и обозначается в виде . Для аргумент не определяется.

17 Определение 2

Определение 2

Непосредственно из рисунка видно, что модуль числа находится по формуле:

18 Аргумент числа определяется из формулы при ;

Аргумент числа определяется из формулы при ;

19 Определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного : ,

Определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного : ,

где есть главное значение , определяемое условиями

20 Действия над комплексными числами в алгебраической форме
21 Из изображения комплексного числа следует, что , , и, следовательно,

Из изображения комплексного числа следует, что , , и, следовательно,

22 Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой

Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой

комплексного числа.

23 Теорема

Теорема

Для любых комплексных чисел и справедливы равенства: 1) ; 2) .

24 Теорема

Теорема

Если , то справедливо равенство: 3) . Доказательство равенств провести в качестве упражнений.

25 Формула называется формулой Муавра в честь английского математика А

Формула называется формулой Муавра в честь английского математика А

де Муавра (1667 – 1754).

26 Наряду с этой формулой им же была выведена и формула извлечения корня

Наряду с этой формулой им же была выведена и формула извлечения корня

степени из комплексного числа , т. е. формула нахождения всех корней уравнения относительно неизвестного x.

27 Пусть возведем обе части равенства в степень n и, воспользовавшись,

Пусть возведем обе части равенства в степень n и, воспользовавшись,

формулой Муавра получим: .

28 В силу равенства двух комплексных чисел получаем равенства: и или и

В силу равенства двух комплексных чисел получаем равенства: и или и

29 Где k – некоторое целое число, - арифметический корень из

Где k – некоторое целое число, - арифметический корень из

действительного неотрицательного числа r.

30 Таким образом, , причем

Таким образом, , причем

31 Пример

Пример

Найти все значения корня . Имеем в тригонометрической форме число Согласно формуле , .

32 Получим три значения: ; ;

Получим три значения: ; ;

33 Переведем комплексное число, записанное в тригонометрической форме в

Переведем комплексное число, записанное в тригонометрической форме в

алгебраическую форму. ;

34 ; ; ; ;

; ; ; ;

35 Поэтому

Поэтому

36 Применение формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических

Применение формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических

выражений.

37 Пример

Пример

Выразить через Имеем соотношение

38 Возведя правую часть в 5-ую степень, получим

Возведя правую часть в 5-ую степень, получим

39 Пользуемся тем, что

Пользуемся тем, что

40 Из равенства чисел, получим

Из равенства чисел, получим

41 Откуда мы поделили числитель и знаменатель на

Откуда мы поделили числитель и знаменатель на

42 В качестве упражнения преобразовать в сумму

В качестве упражнения преобразовать в сумму

«Действия над комплексными числами в алгебраической форме»
http://900igr.net/prezentacija/matematika/dejstvija-nad-kompleksnymi-chislami-v-algebraicheskoj-forme-259570.html
cсылка на страницу

Действия с рациональными числами

24 презентации о действиях с рациональными числами
Урок

Математика

71 тема
Слайды
900igr.net > Презентации по математике > Действия с рациональными числами > Действия над комплексными числами в алгебраической форме