Делимость чисел

Делимость чисел

Автор: Бударецкий Станислав ученик 10а класса СОШ №3 с УИОП г. Усинска Учитель: Акбулатова Н.В.

Цель работы – подобрать такие два числа, чтобы сумма квадратов этих

чисел была бы равна квадрату целого числа.

Задачи

Изучить более подробно, чем в школьном курсе, тему «Делимость чисел»; Рассмотреть решение задач по теме «Делимость чисел»; Найти способ решения поставленной передо мной задачи; Составить программу для компьютера решения поставленной передо мной задачи.

Темы :

Делимость чисел Свойства делимости. Делимость суммы, разности и произведения Признаки делимости НОД и НОК двух чисел Алгоритм Евклида Нахождение Пифагоровых троек

Методы исследования:

Теоретический анализ Наблюдение закономерностей

Примеры

Задача 1 Докажите, что на прямой 32x + 48y = 105 нет ни одной точки с целочисленными координатами. Задача 2 Доказать, что сумма 13 + 23 + ... + 483 + 493 делится на 25. Задача 3 Доказать, что при любом целом n значение выражения n3 - 3n2 - 4n кратно 6. Задача 4 Доказать, что n5 - n делится на 5, при всех целых числах n.

Признаки делимости

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между цифрами, стоящими на четных местах, и суммой цифр стоящими на нечетных местах, делится на 11. Число делится на 7, 11 или 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа делится на 7, 11, или 13 соответственно. Число делится на 37 тогда и только тогда, когда сумма трехзначных граней числа делится на 37. Число делится на 10n тогда и только тогда, когда последние n цифр равны 0.

Пример

Задача1. Делится ли на 11 число a = 94317991999? Задача2. Являются ли числа 7, 11, 13 делителями числа 5159539? Задача3. Найти все пятизначные числа вида 71X1Y, делящиеся на 132. Задача4. Докажите, что при всех целых n число: 10n + 18n - 1 делится на 27.

Алгоритм Евклида

- Это простой метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, основанный на делении с остатком.

Задача

От прямоугольника 324 см x 141 см отрезали несколько квадратов со стороной 141 см, пока не останется прямоугольник, у которого одна из сторон меньше 141 см. От полученного прямоугольника снова отрезают квадраты, стороны которой равны его меньшей стороне, пока это все возможно, и т.д. (рис 1). На какие квадраты разрезан будет прямоугольник? (Укажите их размеры и количество). Ответ: прямоугольник будет разрезан на квадраты: 2 по 141 см *141 см, 3 по 42 см * 42 см, 2 по 15 см * 15 см, 1 по 12 см * 12 см и 4 по 3 см * 3 см.

Пифагорово число (пифагорова тройка) – комбинация из трех целых чисел

(x;y;z), удовлетворяющих соотношению Пифагора: x2 + y2 = z2.

(3;4;5): 32 + 42 = 52; (6;8;10): 62 + 82 = 102; (20;21;29): 202 + 212 = 292; (12;35;37): 122 + 352 = 372; (9;40;41): 92 + 402 = 412.

Утверждение:

К любому целому числу, по модулю большего двух, можно подобрать такое число, что сумма квадратов этих чисел равна квадрату целого числа.

Задача

Катет прямоугольного треугольника равен 12. Найдите другой катет и гипотенузу, если они выражаются натуральными числами. Ответ: (12;35;37), (12;16;20), (12;9;15), (12;5;13).

Великая теорема Ферма

Для любого целого n > 2 уравнение: хn + yn = zn не имеет положительных целых решений x, y и z.

Конец

Спасибо за внимание