Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами имеют вид: Решение этих уравнений основано на следующей теории. Th: Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения выражается суммой его частного решения и общего решения соответствующего линейного однородного уравнения.

Рассмотрим способ нахождения частного решения неоднородного уравнения,

ограничиваясь решением таких неоднородных уравнений второго порядка, у которых правая часть является многочленом, т.е. Р(х), или показательной функцией Аекх. Для отыскания частного решения у* будим применять метод неопределенных коэффициентов, причем у следует искать в таком же виде, какой имеет Р(х) или Аекх.

а) если Р(х) – многочлен и q

0, то у* следует искать в виде многочлена такой же степени # Р(х) = 2х + 3 или х, то у* : Ах + В Р(х) = х2 или (x2+1) или (x2 + x — 1), то у* : Ах2 + Вх + С При этом коэффициенты многочлена находятся из системы линейных алгебраических уравнений, которые получатся при подстановке в дифференциальное уравнение предполагаемого многочлена и его производных.

I. Подбор частного решения у*, когда правая часть – многочлен.

# у" - 2у' - 3у = 2х нач

усл.: у(0) = 0 у'(0) = 1 у* = Ах + В у*' = А; у*" = 0 -2А — 2Ах — 3В = 2х

k2 — 2k — 3 = 0 D = 4 + 12 = 16 k2 = -1 Y = C1 e-x + C2 e3x y' =

-C1e-x + 3C2e3x — 1

б) q = 0 (при этом характеристическое уравнение имеет один нулевой

корень), то в многочлене, для частного решения у*, вводится множитель х. Это значит, что вместо А берется Ах, вместо Ах + В — Ах2 + Вх вместо Ах2 + Вх + С — Ах3 + Вх2 + Сх т.

в) если р = 0 и q = 0, то в многочлен у* вводятся множитель х2

# y" – 2y' = 24x k2 – 2k = 0 q = 0 k (k – 2) = 0 у* = Ах2 + Вх k = 0, k = 2 y*' = 2Ах + В Y = C1 + C2e2x y*" = 2А 2А — 4Ax — 2В = 24х у* = -6х2 – 6х y = -6x2 – 6x + C1 + C2e2x

А) если в правой части задана показательная функция aebx, то частное

решение y* следует искать в виде aebx. Б) если характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению, имеет корень x = b, то частное решение следует искать в виде y* = axebx.

II. Подбор частного решения у* когда правая часть – показательная функция.

в) если правая часть – сумма функций различного вида, то частное

решение составляется в виде суммы функций соответствующих каждому слагаемому. # x2 + e-x = Ф(х) y* = Ax2 + Bx + C + Me-x Каждое слагаемое проще определяется отдельно!

# y" – 3y' – 4y = 9e2x k2 – 3k – 4 = 0 D = 9 + 16 + 25 k2 = -1 Y =

C1e-x + C2e4x y* = Ae2x y*' = 2Ae2x y*" = 4Ae2x

4Ae2x – 6Ae2x – 4Ae2x = 9e2x -6A = 9