Уравнения
<<  Графики уравнений, содержащих модули Понятие о дифференциальных уравнениях. Математическое моделирование исторических процессов  >>
Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема:
Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема:
ГЛАВА II
ГЛАВА II
Функция y = 
Функция y = 
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется
§2
§2
Условие y(x0) = y0 называется начальным условием
Условие y(x0) = y0 называется начальным условием
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
§3
§3
Пусть F(x) – первообразная функции f(x),
Пусть F(x) – первообразная функции f(x),
§4
§4
Замечания
Замечания
§5
§5
Дифференциальное уравнение первого порядка y 
Дифференциальное уравнение первого порядка y 
§6
§6
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (8): y 
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (8): y 
II) Метод Бернулли
II) Метод Бернулли
§7
§7
§8
§8
ТЕОРЕМА 1. Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в
ТЕОРЕМА 1. Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в
Способы нахождения функции u(x , y): 1) используя алгоритм,
Способы нахождения функции u(x , y): 1) используя алгоритм,
3) методом интегрируемых комбинаций
3) методом интегрируемых комбинаций

Презентация на тему: «Дифференциальные уравнения первого порядка». Автор: Пахомова Е.Г.. Файл: «Дифференциальные уравнения первого порядка.ppt». Размер zip-архива: 97 КБ.

Дифференциальные уравнения первого порядка

содержание презентации «Дифференциальные уравнения первого порядка.ppt»
СлайдТекст
1 Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема:

Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема:

Дифференциальные уравнения первого порядка

Лектор Пахомова Е.Г.

2011 г.

2 ГЛАВА II

ГЛАВА II

Дифференциальные уравнения первого порядка

§1. Основные понятия ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обыкновенным дифференциальным уравне- нием называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные y ?(x) , y ??(x) , … , y(n)(x) . ? в общем случае ОДУ имеет вид F(x, y , y ? , y ?? , y ??? , … , y(n)) = 0 . Порядок старшей производной, входящей в ОДУ, называется порядком дифференциального уравнения. ПРИМЕР. Определить порядок уравнений:

3 Функция y = 

Функция y = 

ункция y = ?(x) называется решением дифференциального уравнения на интервале (a;b), если при ее подстановке в это уравнение получается тождество, справедливое для всех x из интервала (a;b). ПРИМЕР. 1) y = cosx – решение ДУ y ?? + y = 0 на (– ? , + ?) ; 2) – решение ДУ в интервале (– 1 ; 1) . Уравнение ?(x,y) = 0 , задающее в неявном виде решение диф- ференциального уравнения, называется интегралом диффе- ренциального уравнения. График решения (интеграла) дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

4 Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется

интегрированием дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если все его решения могут быть получены в результате конечной последовательности элементарных действий над известными функциями и интегрированием этих функций.

5 §2

§2

Основные определения теории дифференциальные уравнения 1-го порядка

Общий вид ДУ 1-го порядка: F(x, y, y ?) = 0 , (1) где x – независимое переменное, y – неизвестная функция, F – заданная функция трех переменных. Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно записать в виде y ? = f(x,y) (2) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

6 Условие y(x0) = y0 называется начальным условием

Условие y(x0) = y0 называется начальным условием

словие y(x0) = y0 называется начальным условием. Числа x0 , y0 называются начальными значениями (данными) для решения y = ?(x). Геометрически, задание начального условия означает, что на плоскости xOy задается точка (x0,y0) , через которую проходит интегральная кривая y(x). Задача нахождения решения дифференциального уравнения F(x,y,y ?)=0, удовлетворяющего начальному условию y(x0) = y0, называется задачей Коши.

7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Общим решением дифференциального урав- нения y ? = f(x,y) в области D ? xOy называется функция y = ?(x , C) , зависящая от x и одной произвольной постоянной C, кото- рая удовлетворяет следующим двум условиям: 1) при любом допустимом значении постоянной С она удовлетворяет уравнению (2); 2) каково бы ни было начальное условие y(x0) = y0 (где (x0 ,y0)?D), можно найти единственное значение C = C0 такое, что функция y = ?(x , C0) удовлетворяет данному начальному условию. Уравнение ?(x , y , C) = 0 , задающее общее решение в неявном виде, называется общим интегралом уравнения. Решение (интеграл), получающееся из общего решения (интеграла) при конкретном значении C (включая C = ??), называется частным решением (интегралом).

8 §3

§3

Уравнения с разделенными переменными

Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное отно- сительно y ?, имеет две формы записи: 1) обычную, т.е. y ? = f(x,y) , 2) дифференциальную, т.е. P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 . (3) При этом, если уравнение записано в виде (3), то обычно предполагают, что переменные x и y равноправны. Дифференциальным уравнением с разделенными переменными называется уравнение, дифференциальная форма которого имеет вид f(x)dx + ?(y)dy = 0 , (4) где f(x) и ?(y) – непрерывные функции.

9 Пусть F(x) – первообразная функции f(x),

Пусть F(x) – первообразная функции f(x),

(y) – первообразная функции ?(y). Тогда общий интеграл уравнения (4) имеет вид: F(x) + ?(y) = C , где C – произвольная постоянная. Замечание. В теории дифференциальных уравнений символом принято обозначать ОДНУ из первообразных функции f(x) (а не все множество первообразных, как это принято в других разделах математического анализа). Поэтому общий интеграл уравнения (4) принято записывать в виде: где C – произвольная постоянная.

10 §4

§4

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися перемен- ными называется уравнение, дифференциальная форма которого имеет вид f1(x) ? ?1(y)dx + f2(x) ? ?2(y)dy = 0 , (5) где f1(x), f2(x), ?1(y), ?2(y) – непрерывные функции. Разделим обе части уравнения на ?1(y) ? f2(x): ? Общий интеграл уравнения (5) имеет вид:

11 Замечания

Замечания

1) Деление на ?1(y) ? f2(x) может привести к потере решений. Поэтому чтобы получить полное решение, необхо- димо рассмотреть корни уравнений ?1(y) = 0, f2(x) = 0. 2) Обычная форма дифференциального уравнения с разделяющимися переменными имеет вид: y ? = f(x) ? ?(y) . Рассмотрим уравнение y ? = f(ax + by + c) , (6) где a , b и c – некоторые числа. Оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z(x) = ax + by + c и его общий интеграл имеет вид:

12 §5

§5

Однородные уравнения

Функция M(x , y) называется однородной степени m (или изме- рения m), если ?t ? 0 справедливо равенство M(tx , ty) = tm ? M(x , y) . ПРИМЕРЫ однородных функций:

13 Дифференциальное уравнение первого порядка y 

Дифференциальное уравнение первого порядка y 

ифференциальное уравнение первого порядка y ? = f(x , y) называется однородным относительно x и y, если функция f(x , y) является однородной нулевой степени. Дифференциальное уравнение M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 является однородным относительно x и y, если функции M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же измерения. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделя- ющимися переменными заменой Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегри- руются с помощью замены

14 §6

§6

Линейные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется ДУ 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной y ?. ? В общем случае линейное уравнение 1-го порядка можно записать в виде y ? + p(x) ? y = f(x) , (8) где p(x) , f(x) – заданные непрерывные функции. Если f(x) ? 0 , то линейное уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным. Линейное однородное уравнение y ? + p(x) ? y = 0 является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение: (9)

15 Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (8): y 

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (8): y 

ассмотрим линейное неоднородное уравнение (8): y ? + p(x) ? y = f(x) . (8) Существуют два метода его интегрирования. I) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа) 1) Интегрируем однородное уравнение y ? + p(x) ? y = 0, соот- ветствующее данному неоднородному уравнению. Его общее решение имеет вид (9): 2) Полагаем, что решение неоднородного уравнения по структуре совпадает с решением соответствующего линей- ного однородного уравнения. ? Оно имеет вид Функцию C(x) найдем, подставив y и y ? в исходное неод- нородное уравнение (8).

16 II) Метод Бернулли

II) Метод Бернулли

Будем искать решение (8) в следующем виде: y = u(x) ? v(x) . Тогда y ? = u ? ? v + u ? v ? . Подставим y и y ? в уравнение (8) и получим: u ? ? v + u ? v ? + puv = f(x) или u ? ? v + u ? [ v ? + pv ] = f(x) . Полагаем, что функция v(x) такова, что [ v ? + pv ] = 0 . Тогда u ? ? v = f(x) . Условия (12) позволяют однозначно определить v(x) и u(x) .

17 §7

§7

Уравнения Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида y ? + p(x) ? y = f(x) ? y n , (13) где p(x) , f(x) – заданные непрерывные функции, n ? 0 , n ? 1 (иначе это будет линейное уравнение). Существуют два метода интегрирования уравнения Бернулли: I) Привести уравнение Бернулли к линейному уравнению. Для этого надо 1) обе части уравнения (13) разделить на y n , 2) сделать замену z = y 1 – n . II) Применить метод Бернулли (т.е. представить решение в виде y = u(x) ? v(x) )

18 §8

§8

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 (14) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x , y) , т.е. если M(x , y)dx + N(x , y)dy = du(x , y) . Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет вид u(x , y) = C . ? Задачи: 1) научиться определять, когда выражение M(x , y)dx + N(x , y)dy является полным дифференциалом; 2) научиться находить функцию u(x , y), зная ее полный диф- ференциал.

19 ТЕОРЕМА 1. Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в

ТЕОРЕМА 1. Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в

ЕОРЕМА 1. Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные частные производные Для того чтобы выражение M(x , y)dx + N(x , y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции u(x , y) , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие

20 Способы нахождения функции u(x , y): 1) используя алгоритм,

Способы нахождения функции u(x , y): 1) используя алгоритм,

пособы нахождения функции u(x , y): 1) используя алгоритм, предложенный в доказательстве теоре- мы 1; 2) используя одну из следующих формул: где (x0 ,y0) – любая точка области D непрерывности функций M(x , y), N(x , y).

21 3) методом интегрируемых комбинаций

3) методом интегрируемых комбинаций

Суть метода интегрируемых комбинаций: выделить в M(x , y)dx + N(x , y)dy выражения, являющиеся дифференциалами известных функ- ций («интегрируемые комбинации») и привести его таким образом к виду du(x , y) . ПРИМЕРЫ интегрируемых комбинаций:

«Дифференциальные уравнения первого порядка»
http://900igr.net/prezentacija/matematika/differentsialnye-uravnenija-pervogo-porjadka-226148.html
cсылка на страницу
Урок

Математика

71 тема
Слайды
900igr.net > Презентации по математике > Уравнения > Дифференциальные уравнения первого порядка