Дифференциальные уравнения (продолжение) |
Уравнения | ||
<< Дифференциальные и разностные уравнения | Дифференциальные уравнения первого порядка >> |
Презентация: «Дифференциальные уравнения (продолжение)». Автор: . Файл: «Дифференциальные уравнения (продолжение).ppt». Размер zip-архива: 133 КБ.
№ | Слайд | Текст |
1 | ![]() |
Дифференциальные уравнения (продолжение)План лекции I. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (примеры) II. Линейные однородные уравнения 1-ого порядка. III. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. IV. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. |
2 | ![]() |
I. Примеры1. Найти общий интеграл. Поделим обе части на чтобы разделить переменные. Проинтегрируем обе части: - Общий интеграл После нехитрых преобразований можно разрешить это уравнение относительно y и получить общее решение. |
3 | ![]() |
2.Перепишем уравнение, заменив На - Общий интеграл |
4 | ![]() |
3.Приведем уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, вынося общие множители за скобки: - Общий интеграл |
5 | ![]() |
4. Найти частный интеграл уравненияУдовлетворяющий начальному условию Найдем вначале общий интеграл. |
6 | ![]() |
- Общее решениеИспользуя начальное условие, подставляем в общее решение значения Найденное значение константы Подставляем в общее решение - Искомое частное решение |
7 | ![]() |
IIЛинейные однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка. Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции и её производной Общий вид линейного уравнения: , Т.Е.: Рассмотрим случай однородного уравнения, когда Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными: |
8 | ![]() |
Интегрируем:Пример. Здесь Найти общее решение. И тогда Здесь - Искомое общее решение |
9 | ![]() |
IIIДифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Умножаем обе части уравнения на dx: Интегрируем: Получаем уравнение (n-1)-го порядка: ,где первообразная для f(x) Снова умножаем обе части на dx и интегрируем: или и т.д. Общее решение будет зависеть от n произвольных констант |
10 | ![]() |
Пример |
11 | ![]() |
IVЛинейные однородные дифференциальные уравнения II-ого порядка с постоянными коэффициентами. Такими уравнениями называются уравнения вида: (1) В котором все члены имеют первую степень относительно функции и её производных, а коэффициенты - Постоянные Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое уравнение: (2) Которое получается из уравнения (1) заменой в нём производных искомой функции соответствующими степенями , причём сама функция заменяется единицей. |
12 | ![]() |
Общее решение имеет вид1) 2) 3) Где и - линейно независимые частные решения уравнения (1), а и - произвольные постоянные. Строится общее решение в зависимости от дискриминанта квадратного уравнения (2): В этом случае имеем 2 различных действительных корня и , и общее решение имеет вид: В этом случае имеем единственный действительный корень , и общее решение имеет вид: В этом случае имеем пару комплексных сопряженных корней Где - мнимая единица, и - действительные числа. |
13 | ![]() |
Примеры выделения чисел и :1. 2. Общее решение имеет вид: |
14 | ![]() |
Примеры интегрирования уравнений1. 2. Характеристическое уравнение: Имеем случай 1) - Общее решение Характеристическое уравнение: Имеем случай 2). Общее решение запишется: |
15 | ![]() |
3.4. Найти частное решение уравнения Характеристическое уравнение: Имеем случай 3). Общее решение: С начальными условиями Найдём общее решение. Характеристическое уравнение: Имеем 2 комплексных корня |
16 | ![]() |
Общее решение:В эти 2 равенства подставляем 2 начальных условия Найденные значения и подставляем в общее решение : - Искомое частное решение. |
«Дифференциальные уравнения (продолжение)» |