Дифференциальные уравнения (продолжение)

Дифференциальные уравнения (продолжение)

План лекции

I. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (примеры) II. Линейные однородные уравнения 1-ого порядка. III. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. IV. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

I. Примеры

1.

Найти общий интеграл. Поделим обе части на чтобы разделить переменные.

Проинтегрируем обе части:

- Общий интеграл

После нехитрых преобразований можно разрешить это уравнение относительно y и получить общее решение.

2.

Перепишем уравнение, заменив

На

- Общий интеграл

3.

Приведем уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, вынося общие множители за скобки:

- Общий интеграл

4. Найти частный интеграл уравнения

Удовлетворяющий начальному условию

Найдем вначале общий интеграл.

- Общее решение

Используя начальное условие, подставляем в общее решение значения

Найденное значение константы

Подставляем в общее решение

- Искомое частное решение

II

Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции и её производной

Общий вид линейного уравнения:

, Т.Е.:

Рассмотрим случай однородного уравнения, когда

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

Интегрируем:

Пример.

Здесь

Найти общее решение.

И тогда

Здесь

- Искомое общее решение

III

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Умножаем обе части уравнения на dx: Интегрируем: Получаем уравнение (n-1)-го порядка: ,где первообразная для f(x) Снова умножаем обе части на dx и интегрируем: или и т.д. Общее решение будет зависеть от n произвольных констант

Пример

IV

Линейные однородные дифференциальные уравнения II-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Такими уравнениями называются уравнения вида:

(1)

В котором все члены имеют первую степень относительно функции и её производных, а коэффициенты

- Постоянные

Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое уравнение:

(2)

Которое получается из уравнения (1) заменой в нём производных искомой функции соответствующими степенями , причём сама функция заменяется единицей.

Общее решение имеет вид

1)

2)

3)

Где и - линейно независимые частные решения уравнения (1), а и - произвольные постоянные.

Строится общее решение в зависимости от дискриминанта квадратного уравнения (2):

В этом случае имеем 2 различных действительных корня и , и общее решение имеет вид:

В этом случае имеем единственный действительный корень , и общее решение имеет вид:

В этом случае имеем пару комплексных сопряженных корней

Где - мнимая единица, и - действительные числа.

Примеры выделения чисел и :

1.

2.

Общее решение имеет вид:

Примеры интегрирования уравнений

1.

2.

Характеристическое уравнение:

Имеем случай 1)

- Общее решение

Характеристическое уравнение:

Имеем случай 2). Общее решение запишется:

3.

4. Найти частное решение уравнения

Характеристическое уравнение:

Имеем случай 3).

Общее решение:

С начальными условиями

Найдём общее решение. Характеристическое уравнение:

Имеем 2 комплексных корня

Общее решение:

В эти 2 равенства подставляем 2 начальных условия

Найденные значения и подставляем в общее решение :

- Искомое частное решение.