Уравнения
<<  Дифференциальные и разностные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка  >>
Дифференциальные уравнения (продолжение)
Дифференциальные уравнения (продолжение)
I. Примеры
I. Примеры
2.
2.
3.
3.
4. Найти частный интеграл уравнения
4. Найти частный интеграл уравнения
- Общее решение
- Общее решение
II
II
Интегрируем:
Интегрируем:
III
III
Пример
Пример
IV
IV
Общее решение имеет вид
Общее решение имеет вид
Примеры выделения чисел и :
Примеры выделения чисел и :
Примеры интегрирования уравнений
Примеры интегрирования уравнений
3.
3.
Общее решение:
Общее решение:

Презентация: «Дифференциальные уравнения (продолжение)». Автор: . Файл: «Дифференциальные уравнения (продолжение).ppt». Размер zip-архива: 133 КБ.

Дифференциальные уравнения (продолжение)

содержание презентации «Дифференциальные уравнения (продолжение).ppt»
СлайдТекст
1 Дифференциальные уравнения (продолжение)

Дифференциальные уравнения (продолжение)

План лекции

I. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (примеры) II. Линейные однородные уравнения 1-ого порядка. III. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. IV. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.

2 I. Примеры

I. Примеры

1.

Найти общий интеграл. Поделим обе части на чтобы разделить переменные.

Проинтегрируем обе части:

- Общий интеграл

После нехитрых преобразований можно разрешить это уравнение относительно y и получить общее решение.

3 2.

2.

Перепишем уравнение, заменив

На

- Общий интеграл

4 3.

3.

Приведем уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, вынося общие множители за скобки:

- Общий интеграл

5 4. Найти частный интеграл уравнения

4. Найти частный интеграл уравнения

Удовлетворяющий начальному условию

Найдем вначале общий интеграл.

6 - Общее решение

- Общее решение

Используя начальное условие, подставляем в общее решение значения

Найденное значение константы

Подставляем в общее решение

- Искомое частное решение

7 II

II

Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции и её производной

Общий вид линейного уравнения:

, Т.Е.:

Рассмотрим случай однородного уравнения, когда

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

8 Интегрируем:

Интегрируем:

Пример.

Здесь

Найти общее решение.

И тогда

Здесь

- Искомое общее решение

9 III

III

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Умножаем обе части уравнения на dx: Интегрируем: Получаем уравнение (n-1)-го порядка: ,где первообразная для f(x) Снова умножаем обе части на dx и интегрируем: или и т.д. Общее решение будет зависеть от n произвольных констант

10 Пример

Пример

11 IV

IV

Линейные однородные дифференциальные уравнения II-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Такими уравнениями называются уравнения вида:

(1)

В котором все члены имеют первую степень относительно функции и её производных, а коэффициенты

- Постоянные

Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое уравнение:

(2)

Которое получается из уравнения (1) заменой в нём производных искомой функции соответствующими степенями , причём сама функция заменяется единицей.

12 Общее решение имеет вид

Общее решение имеет вид

1)

2)

3)

Где и - линейно независимые частные решения уравнения (1), а и - произвольные постоянные.

Строится общее решение в зависимости от дискриминанта квадратного уравнения (2):

В этом случае имеем 2 различных действительных корня и , и общее решение имеет вид:

В этом случае имеем единственный действительный корень , и общее решение имеет вид:

В этом случае имеем пару комплексных сопряженных корней

Где - мнимая единица, и - действительные числа.

13 Примеры выделения чисел и :

Примеры выделения чисел и :

1.

2.

Общее решение имеет вид:

14 Примеры интегрирования уравнений

Примеры интегрирования уравнений

1.

2.

Характеристическое уравнение:

Имеем случай 1)

- Общее решение

Характеристическое уравнение:

Имеем случай 2). Общее решение запишется:

15 3.

3.

4. Найти частное решение уравнения

Характеристическое уравнение:

Имеем случай 3).

Общее решение:

С начальными условиями

Найдём общее решение. Характеристическое уравнение:

Имеем 2 комплексных корня

16 Общее решение:

Общее решение:

В эти 2 равенства подставляем 2 начальных условия

Найденные значения и подставляем в общее решение :

- Искомое частное решение.

«Дифференциальные уравнения (продолжение)»
http://900igr.net/prezentacija/matematika/differentsialnye-uravnenija-prodolzhenie-141999.html
cсылка на страницу
Урок

Математика

71 тема
Слайды
900igr.net > Презентации по математике > Уравнения > Дифференциальные уравнения (продолжение)