Презентация на тему «Фигурные числа»

Фигурные числа

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским. Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Последний написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. Большой интерес к фигурным числам проявляли индийские математики. В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие.

Треугольные числа

Какой же вид имеют треугольные числа? Заметим, что 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ... Эта закономерность сохраняется и дальше. Можно вывести формулу для получения треугольных чисел: Тn = 1 + 2 + 3 + ... + n. На вид она довольно проста, но для вычислений не пригодна, поэтому представим ее в следующем виде:

Кроме треугольных чисел существуют также числа квадратные,

пятиугольные, шестиугольные и т. п. Они связаны соответственно с квадратом, правильным пятиугольником, правильным шестиугольником и т. д.

Можно найти выражение для квадратных

И пятиугольных чисел:

Kn =

Задача 1

Найти седьмое по порядку: 1)квадратное число; 2) треугольное число; 3) пятиугольное число.

Древнегреческий ученый Диофант

нашел простую связь между треугольными числами Т и квадратными К: 8Т+1=К. Можно наглядно представить эту формулу Диофанта на примере числа 10. На рисунке изображены 81 клеточки, размещенные в квадрате. Они образуют квадратное число К. Одна клеточка занимает центр квадрата, а остальные 80 сгруппированы в 8 треугольных чисел Т в форме восьми "прямоугольных треугольников". Получается: 8Т+1=К.

Кроме плоских фигурных чисел, существуют еще пространственные фигурные

числа. Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

Очень интересны кубические числа,

возникающие при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5х5х5=125... и так далее. Теперь понятно, почему про такие числа говорят: «два в кубе», «три в кубе», «девять в кубе»?

Магический, или волшебный квадрат

— это квадратная таблица ,заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна + 1.

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков , за

исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется

магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

Пример 1. Магический квадрат 3-го порядка из 9-ти

первых натуральных чисел (известный в Китае как талисман ло-шу) представляется следующей таблицей 3x3:

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Пример 2. Магический квадрат 4-го порядка,

1

14

15

4

12

7

6

9

8

11

10

5

13

2

3

16

известный еще в Древней Индии, представляется следующей матрицей 4x4:

История магических квадратов

Мы не знаем страну, в которой были придуманы магические квадраты, не знаем век (и даже тысячелетие!), в котором они были впервые составлены. Известно только, что они появились задолго до эры вульгарис, и их родиной был Древний Восток. Существует китайская легенда, в которой говорится, что во времена правления императора Юй (около 2200 г. до н.э.) из вод Хуанхэ всплыла черепаха, у которой на панцире были начертаны таинственные иероглифы, эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату. Сравните рис. 1 с квадратом из первого примера п.1.

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Рис.1

Задача

Разместите в свободных клетках квадрата еще числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали получилось в сумме одно и то же число:

10

7

11

Решение

Задача

Даны числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45. Впишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы получилось в сумме одно и то же число по любой вертикали, горизонтали и диагонали.

Решение

Решение задачи №1

10 10

33 3

8 8

5

7

9

6

11

4