Математика
<<  Проект «Математика ставит эксперимент» Вклад российских ученых математиков, физиков вмировую науку  >>
Итоги секции математики 5-11 классы (заочный этап XV турнира им
Итоги секции математики 5-11 классы (заочный этап XV турнира им
Структура заданий и их оценивание
Структура заданий и их оценивание
Идеи решения некоторых задач 5 класс
Идеи решения некоторых задач 5 класс
Решение
Решение
В10
В10
Решение
Решение
6 класс
6 класс
А5
А5
Решение
Решение
Пусть звонят из города А. Так как жители А говорят правду, то первая
Пусть звонят из города А. Так как жители А говорят правду, то первая
Пусть звонят из города С. Одна фраза – правда, а другая ложь
Пусть звонят из города С. Одна фраза – правда, а другая ложь
В10
В10
Снова «конструктивная» задача, и снова наименьшее число с заданными
Снова «конструктивная» задача, и снова наименьшее число с заданными
Решение
Решение
7 класс
7 класс
Задача на проценты Чтобы решать задачи на проценты, следует ответить
Задача на проценты Чтобы решать задачи на проценты, следует ответить
Какая величина является целым
Какая величина является целым
Решение
Решение
В9
В9
Решение
Решение
8 класс
8 класс
Как решать задачу, в которой почти нет ни числовых, ни буквенных
Как решать задачу, в которой почти нет ни числовых, ни буквенных
Решение
Решение
В9
В9
Решение
Решение
9 класс
9 класс
Решение
Решение
В6
В6
Решение
Решение
АН – высота, медиана, а значит, и биссектриса
АН – высота, медиана, а значит, и биссектриса
Таким образом, доказано, что треугольник АВС является равносторонним
Таким образом, доказано, что треугольник АВС является равносторонним
В9
В9
Задача на перебор
Задача на перебор
Один из вариантов перебора: Всего 20 точек (8 вершин и 12 на серединах
Один из вариантов перебора: Всего 20 точек (8 вершин и 12 на серединах
10 класс
10 класс
Какие будут предложения по решению этой задачи
Какие будут предложения по решению этой задачи
Решение
Решение
В3
В3
Задача – «рассуждалка» Блиц-опрос: Какие утверждения верные
Задача – «рассуждалка» Блиц-опрос: Какие утверждения верные
Решение
Решение
В10
В10
Решение
Решение
11 класс
11 класс
Решение
Решение
В6
В6
Как решать систему
Как решать систему
Решение
Решение
Чтобы система имела ровно 4 решения, надо чтобы окружность была
Чтобы система имела ровно 4 решения, надо чтобы окружность была

Презентация: «Итоги секции математики». Автор: Bernikov. Файл: «Итоги секции математики.ppt». Размер zip-архива: 1422 КБ.

Итоги секции математики

содержание презентации «Итоги секции математики.ppt»
СлайдТекст
1 Итоги секции математики 5-11 классы (заочный этап XV турнира им

Итоги секции математики 5-11 классы (заочный этап XV турнира им

тоги секции математики 5-11 классы (заочный этап XV турнира им. М.В. Ломоносова)

2 Структура заданий и их оценивание

Структура заданий и их оценивание

Количество заданий

Форма ответа

Оценивание

Часть 1

5

4 кода (1, 2, 3 и 4) только один верный

Верный ответ – 1 балл; неверный – 0 баллов

Часть 2

10

Свободный ответ Целое число или конечная десятичная дробь без единиц измерения (!)

Верный ответ – 2 балла; неверный – 0 баллов

3 Идеи решения некоторых задач 5 класс

Идеи решения некоторых задач 5 класс

А4. Старый будильник Васи отстаёт на 8 мин каждые 24 часа. На сколько минут Васе надо поставить его вперед в 17.00, чтобы он зазвонил вовремя в 8.00 следующего утра?

1) 4 мин 2) 5 мин 3) 8 мин 4) 12 мин

4 Решение

Решение

Задача на пропорцию. Понимание взаимосвязи величин и характера их изменения по отношению друг к другу. За 24 часа отставание 8 минут, тогда за 3 часа отставание – 1 минута. С 17:00 до 8:00 следующего утра пройдет 15 часов, т.е. 5 раз по 3 часа. Значит, отставание составит 5 минут.

5 В10

В10

Определите произведение первой и последней цифр в наименьшем натуральном числе, сумма цифр которого равна 2013.

6 Решение

Решение

«Конструктивная» задача. Чтобы число было наименьшим, надо чтобы количество разрядов (количество цифр) было как можно меньше. 2013 : 9 = 223 (ост.6) Значит, число будет иметь 224 разряда, первая цифра 6 (условие наименьшего числа), а остальные 223 цифры – 9. Произведение первой и последней цифр будет равно 54. Ответ. 54.

7 6 класс

6 класс

8 А5

А5

В стране Запутляндии было три города: город А, город В и город С. Жители Города А говорят только правду, жители города В – только ложь, а жители города С – попеременно правду и ложь (то есть, из двух высказанных ими утверждений одно истинно, а другое ложно). В пожарную часть сообщили по телефону: «У нас пожар, скорее приезжайте!» «Где?» ? спросил дежурный по части. «В городе С», - ответили ему. В какой город должна приехать пожарная машина? Известно, что пожар произошел только в одном городе, а сообщить об этом могут жители любого города. 1) А 2) В 3) С 4) однозначно сказать нельзя

9 Решение

Решение

Задача на перебор. Как организовать перебор? Что положить в его основу?

10 Пусть звонят из города А. Так как жители А говорят правду, то первая

Пусть звонят из города А. Так как жители А говорят правду, то первая

фраза (У нас пожар) противоречит второй фразе (Пожар в городе С). Пусть звонят из города В. Так как они всегда врут, то тогда пожар не у них, и не в городе С. Тогда пожар в городе А. Противоречий нет. Получен ли ответ в задаче?

11 Пусть звонят из города С. Одна фраза – правда, а другая ложь

Пусть звонят из города С. Одна фраза – правда, а другая ложь

Нужен еще один перебор. Если первая фраза верна (У нас пожар), тогда вторая фраза тоже верна (пожар действительно в С). Если первая фраза – ложь, значит, пожар не в С. Тогда вторая фраза тоже ложь. Противоречие. Ответ. Пожар в городе А.

12 В10

В10

Любитель математики Вася утверждает, что он может записать наименьшее натуральное число, которое заканчивается на 13, делится на 13 и имеет сумму цифр, равную 13. Попробуйте и вы найти это число.

13 Снова «конструктивная» задача, и снова наименьшее число с заданными

Снова «конструктивная» задача, и снова наименьшее число с заданными

условиями. С чего следует начать?

14 Решение

Решение

Так как число заканчивается на 13 и делится на 13, то число полных сотен должно делиться на 13. Все число имеет сумму цифр 13, значит, количество сотен выражается числом, которое имеет сумму цифр 9 (13 – 1 – 3 = 9). Тогда число полных сотен делится на 9 и на 13. Наименьшее такое число 13 ? 9 = 117. Ответ. 11713.

15 7 класс

7 класс

В8. В некоторой школе пять седьмых классов. В 7 «А» классе 20% отличников, а в остальных четырех классах вместе 10% отличников. Какой процент отличников во всей параллели седьмых классов, если в 7 «А» классе учатся 25% семиклассников из этой школы?

16 Задача на проценты Чтобы решать задачи на проценты, следует ответить

Задача на проценты Чтобы решать задачи на проценты, следует ответить

на самый важный вопрос. Какой?

17 Какая величина является целым

Какая величина является целым

От чего следует считать указанные проценты?

Важный вопрос в задачах на проценты

18 Решение

Решение

Пусть х чел. – все семиклассники школы. Тогда 0,25х чел. учатся в 7 «А» классе; 0,75х чел. – в остальных 7-х классах. Далее считаем отличников: 0,25х ? 0,2 + 0,75х ? 0,1 = = 0,05х + 0,075х = 0,125х. Ответ. 12,5%.

19 В9

В9

Кошке Марусе нужно было покормить и помыть 15 котят. Маруся покормила 8 котят и помыла 9 котят. После этого выяснилось, что ровно 5 котят покормлены, но не помыты. Сколько котят не покормлены и не помыты?

20 Решение

Решение

Удобно использовать для решения круги Эйлера.

Покормлено и помыто 14 котят, значит, только один котенок не покормлен и не помыт.

21 8 класс

8 класс

В6. Вова и Саша катаются на коньках по кругу на катке. Время от времени Вова обгоняет Сашу. Когда Саша стал двигаться по кругу в противоположном направлении, они стали встречаться в пять раз чаще. Во сколько раз Вова бегает на коньках быстрее Саши?

22 Как решать задачу, в которой почти нет ни числовых, ни буквенных

Как решать задачу, в которой почти нет ни числовых, ни буквенных

данных?

23 Решение

Решение

Пусть х м/с – скорость Вовы; y м/с – скорость Саши (х > y). Тогда скорость сближения при движении в одном направлении – (х – y); навстречу друг другу – (х + y). Так как встречаются в 5 раз чаще, значит, скорость сближения в 5 раз больше, т.е. х + y = 5(х – y). Тогда 6y = 4х, т.е. y = 1,5х. Ответ. 1,5.

24 В9

В9

Сколько существует пятизначных чисел, не делящихся на 10000, у которых первая и последняя цифры четны?

25 Решение

Решение

Задача на перебор. Для первой цифры всего 4 возможности (2, 4, 6 или 8), а последняя цифра может быть нулем, значит, 5 возможностей. Три центральные цифры могут образовывать число от 000 до 999, т.е. 1000 вариантов. Но необходимо учесть, что 4 нуля не могут быть последними. Тогда количество чисел считаем так: 4 ? 1000 ? 5 – 4 = 20000 – 4 = 19996.

26 9 класс

9 класс

В2. В четырёхугольнике ABCD, изображенном на рисунке, углы при вершинах В и D – прямые, АВ = ВС, а перпендикуляр ВН, проведенный к AD, равен 4. Найдите площадь четырёхугольника.

27 Решение

Решение

Используем дополнительное построение: НВКD – прямоугольник, СМ – перпендикуляр к ВН. Треугольники АВН и ВСМ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда треугольники АВН и ВКС тоже равны. Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна площади четырёхугольника BКDС. Так как ВН = ВК = 4, то прямоугольник BКDС – квадрат площадью 16.

28 В6

В6

На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки К, Н и Т соответственно так, что АН ? высота, СК ? биссектриса, точка Т ? середина стороны АС. Пусть М ? точка пересечения АН и СК, Р ? точка пересечения ТН и СК. Найдите (периметр треугольника АВС), если КМ = 2, МР = 1, РС = 3. В ответ запишите .

29 Решение

Решение

Р – середина КС, Значит, ТР – средняя линия треугольника АКС, т.е. ТН ? АВ. ТН – средняя линия ?АВС. Тогда АН – высота и медиана ?АВС. Значит, АВ = АС.

30 АН – высота, медиана, а значит, и биссектриса

АН – высота, медиана, а значит, и биссектриса

Тогда М – точка пересе- чения биссектрис. ?КВС: ВК = ВН и треугольники КВМ и ВНМ равны (по двум сторонам и углу между ними). Значит, МК ВК, тогда СК – биссектриса и высота, т.е. ВС = АС.

31 Таким образом, доказано, что треугольник АВС является равносторонним

Таким образом, доказано, что треугольник АВС является равносторонним

Его высота равна 6, тогда сторона равна , а периметр . Ответ. 12.

32 В9

В9

Каркас куба с ребром длины 2 разделен точками на единичные отрезки (смотри рисунок). Сколько различных прямых можно провести через эти точки?

33 Задача на перебор

Задача на перебор

Как организовать перебор?

34 Один из вариантов перебора: Всего 20 точек (8 вершин и 12 на серединах

Один из вариантов перебора: Всего 20 точек (8 вершин и 12 на серединах

ребер). Количество возможных пар точек: 20 ? 19 :2 = 190. Но на каждом ребре лежит 3 точки (например, точки А, В и С). Тогда при подсчете пар с их помощью можно создать 3 пары: АВ, АС и ВС. Значит, прямые – ребра учтены в нашем подсчете трижды. 190 – 2 ? 12 = 166. Ответ. 166.

35 10 класс

10 класс

А5. Найдите сумму всех различных действительных корней уравнения . 1) ?2 2) 3 3) -1 4) 4

36 Какие будут предложения по решению этой задачи

Какие будут предложения по решению этой задачи

37 Решение

Решение

Преобразуем уравнение и используем графический способ. Из графиков видно, что имеется 2 различных корня, которые легко находятся подбором: -3 и 1. Их сумма равна -2.

38 В3

В3

Выберите верные утверждения из перечисленных: 1) Парабола не может быть сечением конуса. 2) Существует четырехугольник, у которого два противоположных угла прямые, а два другие прямыми не являются. 3) Если дискриминант отрицателен, то квадратное неравенство не имеет решений. 4) В равнобедренную трапецию всегда можно вписать окружность. 5) Существует геометрическая прогрессия с ненулевыми членами, у которой сумма первых пятидесяти членов равна нулю.

39 Задача – «рассуждалка» Блиц-опрос: Какие утверждения верные

Задача – «рассуждалка» Блиц-опрос: Какие утверждения верные

40 Решение

Решение

1) Окружность, эллипс, парабола и гипербола могут быть сечениями конуса. 2) 3) 4) 5) 1; -1; 1; -1; …; 1; -1

41 В10

В10

Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведенную из вершины В, в отношении 5 : 4, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины С, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины С? Выразите это отношение в виде числа.

42 Решение

Решение

?АВМ свойство биссектрисы АО: АВ = 10х, АМ = 8х. Тогда АК = 5х, АС = 16х. ?АКС свойство биссектрисы АР: СР : РК = АС : АК = 16 : 5 = 3,2. Ответ. 3,2.

43 11 класс

11 класс

В2. Укажите количество корней уравнения .

44 Решение

Решение

Полезно дать оценки левой и правой частей данного уравнения. Таким образом, равенство возможно, когда обе части равны 8, х = 0, т.е. один корень. Ответ. 1.

45 В6

В6

Существует два значения параметра a ( и , ), при которых система уравнений имеет ровно четыре решения. Укажите значение .

46 Как решать систему

Как решать систему

47 Решение

Решение

Первое уравнение – это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом . Второе уравнение задает в системе координат квадрат.

48 Чтобы система имела ровно 4 решения, надо чтобы окружность была

Чтобы система имела ровно 4 решения, надо чтобы окружность была

вписанной или описанной для квадрата со стороной . Тогда , Значит, Ответ. 2

«Итоги секции математики»
http://900igr.net/prezentacija/matematika/itogi-sektsii-matematiki-77807.html
cсылка на страницу
Урок

Математика

71 тема
Слайды
900igr.net > Презентации по математике > Математика > Итоги секции математики