Квадратное уравнение и его корни

Оглавление Квадратное уравнение и его корни

Неполные квадратные уравнения. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Задания для самостоятельной работы.

Квадратным уравнением называется уравнение ax

+bx+c=0, где a, b, c – заданные числа, a?0, x -неизвестное. Коэффициенты a, b, c квадратного уравнения обычно называют так: a – первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом, c – свободным членом. Например, в уравнении 3х?-х+2=0 старший (первый) коэффициент а=3, второй коэффициент b=-1, а свободный член c=2.

Решение многих задач математики, физики, техники сводится к решению квадратных уравнений: 2x?+x-1=0, x?-25=0, 4x?=0, 5t?-10t+3=0. При решении многих задач получаются уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным. Например, уравнение 2x?+3x=x?+2x+2 после перенесения всех его членов в левую часть и приведения подобных членов сводится к квадратному уравнению x?+x-2=0.

Рассмотрим уравнение общего вида: ax

+bx+c=0, где a?0. Корни уравнения находят по формуле:

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней; если D=0, то уравнение имеет один действительный корень; если D>0, то уравнение имеет два действительных корня. В случае, когда D=0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax?+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполное квадратное уравнение может иметь один из следующих видов:

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Квадратное уравнение вида x2+px+q=0 называется приведенным

В этом уравнении старший коэффициент равен единице: a=1.

Корни приведенного квадратного уравнения находятся по формуле:

Этой формулой удобно пользоваться, когда p – четное число. Пример: Решить уравнение x2-14x-15=0. По формуле находим:

Ответ: x1=15, x2=-1.

Теорема Виета

Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть x1+x2=-p, x1 x2 = q (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Франсуа Виет?

Утверждение №1: Пусть х1 и х2 – корни уравнения х2+pх+q=0

Тогда числа х1, х2 , p, q связаны равенствами: x1 +х2 = - p, х1 х2 =q Утверждение № 2: Пусть числа х1, х2, p, q связаны равенствами х1+х2 = - p, х1 х2 =q. Тогда х1 и х2 – корни уравнения х2+pх+q=0

Следствие: х2+pх+q=(х-х1 )(х-х2). Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета. Проверка правильности найденных корней. Определение знаков корней квадратного уравнения. Устное нахождение целых корней приведенного квадратного уравнения. Составление квадратных уравнений с заданными корнями. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Биквадратные уравнения Биквадратным называется уравнение вида , где a

0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , получим квадратное уравнение Пример: Решить уравнение x4+4x2-21=0 Положив x2=t, получим квадратное уравнение t2+4t -21=0, откуда находим t1= -7, t2=3. Теперь задача сводится к решению уравнений x2= -7, x2=3.

Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим: которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Задача 1:

Автобус отправился от автовокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 40 км. Через 10 минут вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найти скорость такси и автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно.

Скорость V (км/ч)

Время t (ч)

Путь S (км)

Автобус

x

40

Такси

X+20

40

10 мин =

Ч

Составим и решим уравнение:

На 10 мин

Умножим обе части уравнения на 6x(x+20), получим:

Корни этого уравнения:

При этих значениях x знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны 0, поэтому являются корнями уравнения. Так как скорость автобуса положительна, то условию задачи удовлетворяет только один корень: x=60. Поэтому скорость такси 80 км/ч.

Ответ: Скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/ч.

Задача 2:

На перепечатку рукописи первая машинистка тратит на 3 ч меньше, чем вторая. Работая одновременно, они закончили перепечатку всей рукописи за 6ч 40 мин. Сколько времени потребовалось бы каждой из них на перепечатку всей рукописи?

Количество работы в час

Время t (ч)

Объем работы

Первая машинистка

x

1

Вторая машинистка

x+3

1

6 ч 40 мин = 6 ч

Составим и решим уравнение:

Вместе за 6ч 40мин

Это уравнение можно записать следующим образом:

Умножая обе части уравнения на 20x(x+3), получаем:

Корни этого уравнения:

При этих значениях x знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны 0, поэтому - корни уравнения. Так как время положительно, то x=12ч. Следовательно

Первая машинистка затрачивает на работу 12 ч, вторая – 12 ч + 3 ч = 15 ч Ответ:12 ч и 15 ч.

7.Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых

равно 210.

Задания для самостоятельной работы:

Желаем удачи

!!

Франсуа Виет Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции

Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике.

Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой. В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году.

Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру. Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.