Интегралы
<<  Восхождение на вершину «Интеграл» Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования  >>
Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Определенный
Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Определенный
ГЛАВА I. Определенный интеграл и его приложения
ГЛАВА I. Определенный интеграл и его приложения
ЗАДАЧА 1 (о площади криволинейной трапеции)
ЗАДАЧА 1 (о площади криволинейной трапеции)
ЗАДАЧА 2 (о пройденном пути)
ЗАДАЧА 2 (о пройденном пути)
2. Определенный интеграл: определение и условие его существования
2. Определенный интеграл: определение и условие его существования
Пусть Число I называется пределом интегральных сумм In(xi,
Пусть Число I называется пределом интегральных сумм In(xi,
Функция f(x), для которой на [a;b] существует определенный интеграл,
Функция f(x), для которой на [a;b] существует определенный интеграл,
Замечание
Замечание
3. Свойства определенного интеграла
3. Свойства определенного интеграла
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 4) Постоянный множитель k (k 
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 4) Постоянный множитель k (k 
6) Если отрезок интегрирования [a;b] разбит точкой c на две части [a
6) Если отрезок интегрирования [a;b] разбит точкой c на две части [a
9) Следствие свойств 8 и 3. Если m и M – соответственно наименьшее и
9) Следствие свойств 8 и 3. Если m и M – соответственно наименьшее и
11) Теорема о среднем
11) Теорема о среднем
§2
§2
ТЕОРЕМА 1 (о производной определенного интеграла по пере- менному
ТЕОРЕМА 1 (о производной определенного интеграла по пере- менному
Имеем:
Имеем:
Полагая x = b получаем: (2) Формула (2) называется формулой Ньютона –
Полагая x = b получаем: (2) Формула (2) называется формулой Ньютона –

Презентация на тему: «Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница». Автор: Пахомова Е.Г.. Файл: «Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница.ppt». Размер zip-архива: 171 КБ.

Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница

содержание презентации «Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница.ppt»
СлайдТекст
1 Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Определенный

Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Определенный

интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница

Лектор Янущик О.В.

2013 г.

2 ГЛАВА I. Определенный интеграл и его приложения

ГЛАВА I. Определенный интеграл и его приложения

§1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a;b] . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область (?) ? xOy , ограниченная отрезком [a;b] оси Ox, прямыми x = a, x = b и кривой y = f(x), называется криволинейной трапецией с основанием [a;b] .

Замечание. Прямые x = a и x = b могут вырождаться в точки

3 ЗАДАЧА 1 (о площади криволинейной трапеции)

ЗАДАЧА 1 (о площади криволинейной трапеции)

Пусть f(x) ? 0 , ?x?[a;b] . Найти площадь S криволинейной трапеции (?) .

Если ?xi = xi – xi–1 – длина отрезка [xi–1 ; xi] , то Пусть ? = max | [xi–1 ; xi] | . Тогда

4 ЗАДАЧА 2 (о пройденном пути)

ЗАДАЧА 2 (о пройденном пути)

Пусть точка движется по кривой и ее скорость изменяется по закону v = f(t). Найти путь S, пройденный точкой за промежуток времени [T1 ; T2] . РЕШЕНИЕ. 1) Разобьем [T1 ; T2] на n частей точками t0 = T1 , t1 , t2 , … , tn = T2 (где t0 < t1 < t2 < … < tn ) 2) Выберем на [ti–1 ; ti] (i = 1,2,…n) произвольную точку ?i . Если [ti–1; ti] мал, то можно считать, что точка двигалась в те- чение этого времени равномерно со скоростью f(?i) . ? пройденное расстояние: f(?i) ? ?ti , где ?ti = ti – ti–1 . 3) Пусть ? = max | [ti–1; ti] | . Тогда

5 2. Определенный интеграл: определение и условие его существования

2. Определенный интеграл: определение и условие его существования

Пусть f(x) задана на отрезке [a;b] . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Разобьем [a;b] на n частей точками x0 = a , x1 , x2 , … , xn = b , где x0 < x1 < x2 < … < xn . 2) На каждом отрезке [xi–1 ; xi] (i = 1,2,…n) выберем про- извольную точку ?i и найдем произведение f(?i) ? ?xi , где ?xi = xi – xi–1 – длина отрезка [xi–1 ; xi]. Сумма называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a;b] .

6 Пусть Число I называется пределом интегральных сумм In(xi,

Пусть Число I называется пределом интегральных сумм In(xi,

i) при ? ? 0 , если для любого ? >0 существует ? >0 такое, что для любого разбиения отрезка [a;b] у которого ? < ? , при любом выборе точек ?i выполняется неравенство | In(xi,?i) – I | < ? . Если существует предел интегральных сумм In(xi,?i) при ? ? 0, то его называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] (или в пределах от a до b). ОБОЗНАЧАЮТ: Называют: [a;b] – промежуток интегрирования, a и b – нижний и верхний предел интегрирования, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

7 Функция f(x), для которой на [a;b] существует определенный интеграл,

Функция f(x), для которой на [a;b] существует определенный интеграл,

ункция f(x), для которой на [a;b] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие интегрируемости функции на [a;b]). Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b] , то она на этом отрезке ограничена. ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие интегрируемости функции на [a;b]). Для интегрируемости функции f(x) на [a;b] , достаточно выполнения одного из условий: 1) f(x) непрерывна на [a;b]; 2) f(x) ограничена на [a;b] и имеет на [a;b] конечное число точек разрыва; 3) f(x) монотонна и ограничена на [a;b].

8 Замечание

Замечание

Определяя определенный интеграл, полагали a < b . Полагаем, что: 1) если a > b , то 2) если a = b , то Такое расширение определения согласуется с определением определенного интеграла и его геометрическим (физическим) смыслом.

9 3. Свойства определенного интеграла

3. Свойства определенного интеграла

1) Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) – непрерывна на [a;b] и f(x) ? 0 , ?x?[a;b] , то где S – площадь криволинейной трапеции с основанием [a;b] и ограниченной сверху кривой y = f(x). 2) Физический смысл определенного интеграла Если функция v = f(t) задает скорость движущейся точки в момент времени t , то определяет путь S, пройденный точкой за промежуток времени [T1 ; T2] .

10 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 4) Постоянный множитель k (k 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 4) Постоянный множитель k (k 

ОКАЗАТЕЛЬСТВО 4) Постоянный множитель k (k ? 0) можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 5) Определенный интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

11 6) Если отрезок интегрирования [a;b] разбит точкой c на две части [a

6) Если отрезок интегрирования [a;b] разбит точкой c на две части [a

c] и [c;b], то (1) Замечание. Формула (1) будет иметь место и в том случае, когда точка c лежит не внутри отрезка [a;b], а вне его. 7) Если f(x) > 0 (f(x) ? 0) ?x?[a;b] , то 8) Если f(x) ? ?(x) ?x?[a;b] , то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

12 9) Следствие свойств 8 и 3. Если m и M – соответственно наименьшее и

9) Следствие свойств 8 и 3. Если m и M – соответственно наименьшее и

наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a;b], то 10) Если f(x) – нечетная функция, то Если f(x) – четная функция, то

13 11) Теорема о среднем

11) Теорема о среднем

Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то в интервале (a;b) найдется такая точка c, что справедливо равенство ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

14 §2

§2

Вычисление определенных интегралов

1. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница Пусть f(t) непрерывна на [a;b]. Тогда f(t) непрерывна на ?[a;x], где a ? x ? b . ? f(t) интегрируема на ?[a;x], где a ? x ? b . Рассмотрим интеграл Имеем: , D(?(x)) = [a;b] .

15 ТЕОРЕМА 1 (о производной определенного интеграла по пере- менному

ТЕОРЕМА 1 (о производной определенного интеграла по пере- менному

верхнему пределу). Функция ?(x) дифференцируема на [a;b], причем ? ?(x) = f(x) . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЕ 2. Любая непрерывная на [a;b] функция имеет на [a;b] первообразную.

16 Имеем:

Имеем:

(x) – первообразная для функции f(x) на [a;b] . Пусть F(x) – еще одна первообразная для f(x) на [a;b] . Тогда F(x) и ?(x) будут отличаться постоянным слагаемым (см. §23 теорема 2, I семестр), т.е. (1) где a ? x ? b , C – некоторое число. Полагаем x = a . Тогда из (1) получим ? 0 = F(a) + C , ? C = – F(a) . Следовательно, (1) можно переписать в виде

17 Полагая x = b получаем: (2) Формула (2) называется формулой Ньютона –

Полагая x = b получаем: (2) Формула (2) называется формулой Ньютона –

олагая x = b получаем: (2) Формула (2) называется формулой Ньютона – Лейбница. Разность F(b) – F(a) принято сокращенно записывать в виде Символ называют знаком двойной подстановки. Используя это обозначение, формулу (2) можно переписать в виде Замечание. В формуле (2) можно взять любую из перво- образных функции f(x), так как F(b) – F(a) не зависит от выбора первообразной.

«Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница»
http://900igr.net/prezentacija/matematika/opredelennyj-integral-i-ego-svojstva.-formula-njutona-lejbnitsa-231408.html
cсылка на страницу

Интегралы

3 презентации об интегралах
Урок

Математика

71 тема
Слайды
900igr.net > Презентации по математике > Интегралы > Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона - Лейбница