Округление
<<  Округление десятичных чисел Приближенные значения  >>
Погрешности и приближенные числа
Погрешности и приближенные числа
Введение
Введение
Повестка дня
Повестка дня
Обзор
Обзор
Словарь терминов
Словарь терминов
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Приближенные числа и правила приближений
Погрешности арифметических операций
Погрешности арифметических операций
Основные свойства решений
Основные свойства решений
Выводы
Выводы

Презентация на тему: «Погрешности и приближенные числа». Автор: Галина. Файл: «Погрешности и приближенные числа.ppt». Размер zip-архива: 93 КБ.

Погрешности и приближенные числа

содержание презентации «Погрешности и приближенные числа.ppt»
СлайдТекст
1 Погрешности и приближенные числа

Погрешности и приближенные числа

Кафедра Информационных технологий и управляющих систем Предмет «Вычислительные методы и их применение в ЭВМ» Лекция Доцент Стрельцова Г. А.

2 Введение

Введение

При выполнении массовых вычислений важно придерживаться определенных простых правил, выработанных практикой, которые позволяют экономить труд вычислителя и рационально использовать вычислительную технику. Одно из таких правил – разработка подробной вычислительной схемы.

3 Повестка дня

Повестка дня

Список изучаемых разделов: Приближенные числа и правила приближений. Погрешности арифметических операций. Основные свойства решений. Время, отводимое на каждый раздел: 5-10 минут.

4 Обзор

Обзор

Разделы лекции

Погрешности арифметических операций

Приближенные числа и правила приближений

Основные свойства решений

5 Словарь терминов

Словарь терминов

Приближенным числом а* называется число, отличающееся от точного а и заменяющее последнее в вычислениях. Если известно, что а*< а , то а* называют приближенным значением числа а по недостатку; если же а* > а, то - по избытку.

6 Приближенные числа и правила приближений

Приближенные числа и правила приближений

Значащими цифрами числа а* называются все цифры его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащую цифру числа а* называют верной, если абсолютная погрешность числа не превышает единицу разряда, соответствующего этой цифре. Пример: ?? (a*) =0, 000002, a* =0, 0103000 – 4 верных цифры.

7 Приближенные числа и правила приближений

Приближенные числа и правила приближений

Округление числа – замена его другим числом с меньшим числом значащих цифр. Погрешность такой замены называется погрешностью округления. Виды округления: Усечение – отбрасывание всех цифр, расположенных слева от значащей цифры. Абсолютная погрешность не превышает единицы разряда. Округление по дополнению – при разряде, меньшим 5, остается та же цифра, при большем или равном 5 добавляется 1. Абсолютная погрешность не превышает ? разряда последней оставляемой цифре. Границы погрешностей всегда округляют в сторону увеличения.

8 Приближенные числа и правила приближений

Приближенные числа и правила приближений

Относительная погрешность (%) чисел с n верными знаками. Начало таблицы.

n=2

n-=3

n=4

Первые значащие цифры

10-11

10

1

0,1

12-13

8,3

0,83

0,083

14,…,16

7,1

0,71

0,071

17,…,19

5,9

0,59

0,059

20,…,22

5

0,5

0,05

23,…,26

4,3

0,43

0,043

26,…,29

3,8

0,38

0,038

30,…,34

3,3

0,33

0,033

9 Приближенные числа и правила приближений

Приближенные числа и правила приближений

Относительная погрешность (%) чисел с n верными знаками. Окончание таблицы.

n=2

n-=3

n=4

Первые значащие цифры

35,…,39

2,9

0,29

0,029

40,…,44

2,5

0,25

0,025

45,…,49

2,2

0,22

0,022

50,…,59

2

0,2

0,02

60,…,69

1,7

0,17

0,017

70,…,79

1,4

0,14

0,014

80,…,89

1,2

0,12

0,012

90,…,99

1,1

0,11

0,011

Пример: 0,00354

35,…,39

3

?= 0,29%

10 Приближенные числа и правила приближений

Приближенные числа и правила приближений

Для двоичных чисел существуют понятия: Машинный нуль. Машинная бесконечность. Переполнение. Исчезновение порядка.

X?

X-?

Xo

-Xo

0

Машинный нуль

Машинная бесконечность

Машинная бесконечность

11 Приближенные числа и правила приближений

Приближенные числа и правила приближений

Числа, большие по модулю, чем X?, рассматриваются, как машинная бесконечность, и попытка получить такое число приводит к аварийному останову по переполнению. Числа, меньшие по модулю, чем Xo представляются машинным нулем. При получении таких чисел возможно исчезновение порядка (или антипереполнение). Для двоичных чисел при потери точности вычислений используют так называемую удвоенную точность.

12 Приближенные числа и правила приближений

Приближенные числа и правила приближений

Пример: Имеется гипотетическая машина с 6 двоичными разрядами мантиссы, в которой округление происходит только по дополнению. Выполнить арифметические действия для двух чисел в двоичном коде: a=20.5D=10100.1B; b=1.75D=1.11B a+b=22.25D; a*b=35,785D a+b=10100.1+1.11=101101.01B ?10110.1B =22.5D a*b=10100.1*1.11=1100011.111B ?100100.1B =36D

13 Приближенные числа и правила приближений

Приближенные числа и правила приближений

Проверка точности вычислений проводится по так называемому машинному эпсилону ?м. Машинный эпсилон ?м – это минимальное из представленных чисел ?, для которых 1 ?м > 1 Алгоритм проверки (вставка в фрагмент программы): Задается шаг ?(о)=1, проводится вычисление, Задается шаг ?(1)=0.5 ?(о) проводится вычисление и проверяется неравенство 1 ? > 1 ………………………………………………………………………………… n. Задается шаг ?(n)=0.5 ?(n-1) проводится вычисление и проверяется неравенство 1 ? > 1 Если неравенство выполняется, то принимается ?м= ?(n-1) и переходят к следующему этапу вычислений.

14 Приближенные числа и правила приближений

Приближенные числа и правила приближений

В представленном примере ?м = 0.000001, т. к. 1+ ?м =1.000001, тогда 1 ?м =1.00001 Если же к 1 добавить любое положительное число ? < ?м , то в седьмом разряде результата будет стоять нуль, и после округления получается: 1 ? = 1

15 Приближенные числа и правила приближений

Приближенные числа и правила приближений

В современной мировой практике используется ошибка вычислений приближенного числа: Error = |a-a*|/(1+a) Error? ? (a*) при |a|<<1 Error? ?(a*) при |a|>>1

16 Погрешности арифметических операций

Погрешности арифметических операций

Погрешности суммы и разности: ? (a*± b*) ? ? (a*) + ? (b*) ? (a*+ b*) ? ?max ; ? (a*- b*) ? v*?max ?max = max{? (a*), ? (b*) }, v=|a+b|/|a-b| Относительные погрешности произведения и частного: ? (a*+ b*) ? ? (a*) + ? (b*) ?(a* b*) ? ? (a*) + ? (b*) + ? (a*) * ? (b*) ?(a*/ b*) ? (? (a*) + ? (b*))/(1- ? (b*)) Границы относительных погрешностей: ???(a* b*) ? ?? (a*) + ?? (b*) ? ??(a*/ b*)

17 Основные свойства решений

Основные свойства решений

Корректность вычислительной задачи. Это выполнение условий: 1) ее решение y, принадлежащих Y, существует при всех входных x, принадлежащих X. 2) это решение единственное 3) решение устойчиво по отношению к малым возмущениям входных величин. Единственность вычислительной задачи. Задача должна иметь единственное решение. Устойчивость вычислительной задачи. Задача устойчива по входным данным, если для любого ?>0 существует ?= ?(?)>0 такое, что всякому исходному x* при котором ?(x*) < ? , соответствует y*, для которого ?(y*) < ? . Т. е. решение y зависит от входного x непрерывным образом. Относительная устойчивость решения – замена ? на ?.

18 Выводы

Выводы

Рассмотренные вопросы Приближенные числа и правила приближений. Погрешности арифметических операций. Основные свойства решений. Практические работы Примеры вычислений.

«Погрешности и приближенные числа»
http://900igr.net/prezentacija/matematika/pogreshnosti-i-priblizhennye-chisla-138558.html
cсылка на страницу

Округление

6 презентаций об округлении
Урок

Математика

71 тема
Слайды
900igr.net > Презентации по математике > Округление > Погрешности и приближенные числа