Сложение и вычитание до 100
<<  Предел функции Тема: Предел функции  >>
Предел функции
Предел функции
Второй замечательный предел
Второй замечательный предел
Второй замечательный предел
Второй замечательный предел
Бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции
Непрерывность функции в точке
Непрерывность функции в точке
Непрерывность функции в точке
Непрерывность функции в точке
Непрерывность функции в точке
Непрерывность функции в точке
Непрерывность функции в точке
Непрерывность функции в точке
Точки разрыва функции
Точки разрыва функции
Точки разрыва функции
Точки разрыва функции
Точки разрыва функции
Точки разрыва функции
Точки разрыва функции
Точки разрыва функции
Точки разрыва функции
Точки разрыва функции
Основные теоремы о непрерывных функциях
Основные теоремы о непрерывных функциях
Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Свойства функций, непрерывных на отрезке

Презентация на тему: «Предел функции». Автор: . Файл: «Предел функции.ppt». Размер zip-архива: 303 КБ.

Предел функции

содержание презентации «Предел функции.ppt»
СлайдТекст
1 Предел функции

Предел функции

Второй замечательный предел Бесконечно малые функции Непрерывность функции в точке Точки разрыва функции Основные теоремы о непрерывных функциях Непрерывность функции на интервале и на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке

2 Второй замечательный предел

Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется равенство:

Следствия:

Другие полезные формулы:

3 Второй замечательный предел

Второй замечательный предел

4 Бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами; обозначают обычно греческими буквами ?, ? и т. д.

Например:

- Бесконечно малая функция при

Теорема

Если функция y = f(x) имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции ?(x)

5 Бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции

Сравнение бесконечно малых

Пусть ?(х), ?(х) – бесконечно малые функции

Если

То говорят, что ?(х) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с ?(х) :

Если

То говорят, что ?(х) и ?(х) – бесконечно малые одного и того же порядка.

То ?(х) и ?(х) – эквивалентные бесконечно малые

Если

6 Бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции

Некоторые свойства бесконечно малых

Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями:

Бесконечно малые эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность является бесконечно малой высшего порядка относительно ? и ? .

Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой.

7 Бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции

Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых при

8 Непрерывность функции в точке

Непрерывность функции в точке

(1)

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, и в самой точке x0.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0 , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Равенство (1) означает выполнение трех условий:

1

Функция y = f(x) определена в точке x0 и в ее окрестности.

2

Функция y = f(x) имеет предел при

Предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке.

3

9 Непрерывность функции в точке

Непрерывность функции в точке

То равенство (1) можно записать в виде:

Так как

Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции:

Равенство справедливо в силу непрерывности функции y = ex

10 Непрерывность функции в точке

Непрерывность функции в точке

Разность x – x0 называется приращением аргумента х в точке х0 и обозначается:

Разность соответствующих значений функций f(x) – f(x0) называется приращением функции f(x) в точке х0 и обозначается:

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой интервале (a; b).

Возьмем произвольную точку

Х0

Х

y = f(x )

y0 = f(x0 )

11 Непрерывность функции в точке

Непрерывность функции в точке

Преобразуем равенство (1):

Х0

Полученное равенство является еще одним определением непрерывности функции в точке:

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена в точке x0 и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

y0

12 Точки разрыва функции

Точки разрыва функции

Если x = x0 – точка разрыва функции, то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности, а именно:

Функция f(x) определена в окрестности точки х0 , но не определена в самой точке х0 :

Не определена в точке х = 2 , но определена в любой окрестности этой точки, поэтому х = 2 - точка разрыва.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называется точками разрыва функции.

1

2

Функция

13 Точки разрыва функции

Точки разрыва функции

Функция f(x) определена в точке х0 и в ее окрестности, но не существует предела f(x) при

Определена в точке х = 2 , но но не имеет предела при

Не существует, значит х = 2 - точка разрыва

2

Функция

2

14 Точки разрыва функции

Точки разрыва функции

Х = 0 -точка разрыва

3

2

1

15 Точки разрыва функции

Точки разрыва функции

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции f(x) , если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа:

При этом:

Величину называют скачком функции в точке разрыва 1 рода.

16 Точки разрыва функции

Точки разрыва функции

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции f(x) , если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Х = 2 – точка разрыва 2 рода.

В примере 1:

17 Основные теоремы о непрерывных функциях

Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1

Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, где знаменатель равен нулю)

Теорема 2

Пусть функция u = g(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = g(x0). Тогда сложная функция y = f(g(x)) непрерывна в точке x0.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.

Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

18 Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция y = f(х) называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y = f(х) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна на интервале (a; b), и в точке x = a непрерывна справа:

А в точке x = b непрерывна слева:

19 Свойства функций, непрерывных на отрезке

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема (Вейерштрасса)

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения

Теорема (Больцано - Коши)

Если функция y = f(х) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A, f(b) = B, то на этом отрезке она принимает все значения между A и B.

Следствие

Если функция y = f(х) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция обращается в ноль: f(с) = 0

a

c

b

«Предел функции»
http://900igr.net/prezentacija/matematika/predel-funktsii-154240.html
cсылка на страницу

Сложение и вычитание до 100

29 презентаций о сложении и вычитании до 100
Урок

Математика

71 тема
Слайды