Сложение и вычитание до 10
<<  Да, путь познания не гладок, Но знаем мы со школьных лет, Загадок больше, чем разгадок, И поискам предела нет Повышение качества знаний учащихся на уроках биологии и за их пределами  >>
Математический анализ 1 семестр Лекция 5 Пределы функций
Математический анализ 1 семестр Лекция 5 Пределы функций
Основные определения, примеры
Основные определения, примеры
Основные определения, примеры
Основные определения, примеры
Примеры разрывов
Примеры разрывов
Эквивалентность определений
Эквивалентность определений
Теоремы о пределах
Теоремы о пределах
Переход к пределу в неравенствах
Переход к пределу в неравенствах
Теорема о промежуточной функции
Теорема о промежуточной функции
Критерий Коши для функций
Критерий Коши для функций
Доказательство критерия Коши
Доказательство критерия Коши
Бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции
Бесконечно большие функции
Бесконечно большие функции
Арифметические теоремы о пределах
Арифметические теоремы о пределах
Ответ на вопрос 1
Ответ на вопрос 1
Ответ на вопрос 2
Ответ на вопрос 2
Ответ на вопрос 3
Ответ на вопрос 3
Пределы на бесконечности
Пределы на бесконечности
Вопросы
Вопросы
Ответ на вопрос 4
Ответ на вопрос 4
Ответ на вопрос 5
Ответ на вопрос 5
Односторонние пределы
Односторонние пределы
Примеры
Примеры
Ответ на вопрос 6
Ответ на вопрос 6
Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенностей
Вопросы к экзамену
Вопросы к экзамену
Математический анализ
Математический анализ

Презентация на тему: «Пределы функций». Автор: Grishin. Файл: «Пределы функций.ppt». Размер zip-архива: 322 КБ.

Пределы функций

содержание презентации «Пределы функций.ppt»
СлайдТекст
1 Математический анализ 1 семестр Лекция 5 Пределы функций

Математический анализ 1 семестр Лекция 5 Пределы функций

9 октября 2014 года Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н. Гришин Сергей Анатольевич

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ

2 Основные определения, примеры

Основные определения, примеры

Определена в

Предположение:

Функция

В точке a

В точке a

def

def

Число A называется пределом функции

Число A называется пределом функции

по Коши,

по Коши,

Если

Если

Обозначение:

В точке a

def

Число A называется пределом функции

по Гейне,

Если

Пример 1

Функция, не имеющая предела в точке a = 0

3 Основные определения, примеры

Основные определения, примеры

Пример 2

Доказать, что

4 Примеры разрывов

Примеры разрывов

5 Эквивалентность определений

Эквивалентность определений

Т.1.

Если число A – предел функции в точке a по Коши, то A – предел той же функции по Гейне и наоборот.

Док.

Пусть A – предел по Гейне – не является пределом по Коши.

и по Гейне

Для последовательности

Пусть A – предел по Коши

Для любой последовательности

6 Теоремы о пределах

Теоремы о пределах

Ограничена в окрестности

, Если

Def

Функция

Функция, имеющая предел в точке a, ограничена в

Т.2.

Док.

Для

Если функция имеет предел в точке a, то он только один.

Т.3.

Выберем

Док.

Противное:

Два предела A и B.

Тогда

Противоречие с выбором

7 Переход к пределу в неравенствах

Переход к пределу в неравенствах

Такие, что 1)

Т.4.

Функции

2)

Тогда

Док.

Противное:

Противоречие с 1)

Т.5.

О знаке функции в окрестности точки.

Тогда

Такая, что

Функция

Существует

Для которой

Док.

8 Теорема о промежуточной функции

Теорема о промежуточной функции

Удовлетворяют

Пусть функции

Т.6.

Условиям:

1)

2)

Тогда

Док.

Т.Е.

9 Критерий Коши для функций

Критерий Коши для функций

, Определенная в окрестности

Функция

Def

удовлетворяет условию Коши, если

, Определенная в

Для того, чтобы функция

Т.7.

удовлетворяла критерию Коши

Окрестности

Необходимо и достаточно, чтобы она имела предел

В точке a.

10 Доказательство критерия Коши

Доказательство критерия Коши

Произвольная

Пусть критерий выполнен и

Док.

Тогда

Последовательность, для которой

удовлетворяет критерию Коши для последовательностей и

То

Если для другой посл.

Нет.

Для посл.

Предела

Т.К. В противном

Пусть

Тогда

11 Бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции

Называется бесконечно малой

Функция

Def

В точке x = a, если

Имеет предел в точке x= a

Если функция

Т.8.

Где

- Б.М.Ф.

Равный A, то

Док. следует из предела по Гейне и теоремы 3 лекции 2

Т.9. Арифметическая теорема о б.м.ф.

1. Сумма двух б.м.функций в точке x = а – б.м.ф.

2. Произведение б.м.функции в точке x = а на на ограниченную в окрестности той же точки есть б.м.ф.

Док. следует из предела по Гейне и теорем 4, 5 лекции 2

12 Бесконечно большие функции

Бесконечно большие функции

Def

Функция

, Определенная в окрестности

Точки x = a,

Бесконечно большой в этой точке, если

Обозначение:

- Б.Б.Ф., Если

Функция

Def по Гейне.

Т.10. О связи б.м.ф. и б.б.ф.

- Б.М.Ф.

1. Если

Б.Б.Ф. В точке x = a, то

- Б.Б.Ф.

То

- Б.М.Ф.

2. Если

13 Арифметические теоремы о пределах

Арифметические теоремы о пределах

Т.11.

Пусть для функций

Существуют

Тогда существуют

1)

2)

3)

Док. следует из def по Гейне и теоремы 6 лекции 2

Вопрос 1.

Произведение ограниченных функций ограниченная функция?

Вопрос 2.

Отношение ограниченных функций ограниченная функция?

Вопрос 3.

Сумма двух б.б. функций может быть б.м.ф.?

14 Ответ на вопрос 1

Ответ на вопрос 1

Ответ положительный.

И

Следует

Из ограниченности

, Для которой

Существование константы

Тогда

15 Ответ на вопрос 2

Ответ на вопрос 2

Ответ отрицательный

Пример.

- Ограниченная функция в окрестности точки a = 0

- Ограниченная функция в окрестности точки a = 0

- Б.Б.Ф.

16 Ответ на вопрос 3

Ответ на вопрос 3

Ответ положительный

Пример.

- Б.Б.Ф. В окрестности точки a = 0

- Б.Б.Ф. В окрестности точки a = 0

- Б.М.Ф. В окрестности точки a = 0

17 Пределы на бесконечности

Пределы на бесконечности

Имеет предел на бесконечности,

Def

Функция

Если

Обозначение

Def

Имеет предел на

Функция

Если

Обозначение

Def

Имеет предел на

Функция

Если

Обозначение

18 Вопросы

Вопросы

Функция имеет предел на

Вопрос 4

Существует ли у нее предел на

Функция имеет предел на

Вопрос 5

Существует ли у нее предел на

19 Ответ на вопрос 4

Ответ на вопрос 4

Ответ отрицательный

Пример.

Не существует, поскольку для положительных

Значений x:

И функция не является даже ограниченной.

20 Ответ на вопрос 5

Ответ на вопрос 5

Ответ положительный

Существование предела на

Гарантирует тот же предел на

И

Например, для

В окрестности

Т.Е.

21 Односторонние пределы

Односторонние пределы

Имеет предел в точке x = a справа,

Def

Функция

Если

Обозначение:

Имеет предел в точке x = a слева,

Def

Функция

Если

Обозначение:

Утверждение

Функция

Имеет предел в точке x = a

В том и только в том случае, если

22 Примеры

Примеры

Вопрос 6

Приведите пример функции, имеющей в заданной точке

Различные пределы справа и слева.

23 Ответ на вопрос 6

Ответ на вопрос 6

Вопрос 7

При каком a функция имеет предел?

24 Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенностей

Пример. Вычислить предел:

Преобразование:

Тогда

25 Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенностей

Пример. Вычислить предел:

Замена.

26 Вопросы к экзамену

Вопросы к экзамену

Определение предела функции по КОШИ и ГЕЙНЕ и их эквивалентность. 2) Ограниченность функции в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. 3) Теорема об единственности предела функции. 4) Теорема о переходе к пределу в неравенствах. 5) Теорема о промежуточной функции. 6) Критерий Коши для функции в окрестности точки. Теорема об эквивалентности критерия существованию предела у функции . 7) Бесконечно малые функции, теорема о связи функций, имеющих предел, и бесконечно малых функций. 8) Бесконечно большие функции, теорема об их связи с бесконечно малыми функциями. 9) Арифметическая теорема о пределах функций.

27 Математический анализ

Математический анализ

Пределы функций. Лекция 5 Завершена. Спасибо за внимание!

Тема следующей лекции: Раскрытие неопределенности для функции. Лекция состоится в четверг 16 октября 2014 г. в 10:00 по Московскому времени.

Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ

«Пределы функций»
http://900igr.net/prezentacija/matematika/predely-funktsij-229545.html
cсылка на страницу
Урок

Математика

71 тема
Слайды