Производная функции

Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема:

Производная функции

Лектор Белов В.М.

2010 г.

Глава II

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций. §5. Производная функции 1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной Пусть y = f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Придадим x0 приращение ?x такое, что x0 + ?x?D(f) . Функция при этом получит приращение ?f(x0) = f(x0 + ?x) – f(x0) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента ?x, при ?x ? 0 (если этот предел существует и конечен), т.е. Обозначают: Производной функции y = f(x) в точке x0 справа (слева) называется (если этот предел существует и конечен). Обозначают: – производная y = f(x) в точке x0 справа, – производная y = f(x) в точке x0 слева.

ТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное условие существо- вания

производной). Функция y = f(x) имеет производную в точке x0 ? в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие существования производ- ной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке x0 , то функция f(x) в этой точке непрерывна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Замечание. Непрерывность функции в точке x0 не является достаточным условием существования в этой точке производной функции. Например, функция y = | x | непрерывна на всей области опре- деления, но не имеет производной в точке x0 = 0.

Соответствие x0 

оответствие x0 ? f ?(x0) является функцией, определенной на множестве D1? D(f). Ее называют производной функции y = f(x) и обозначают Операцию нахождения для функции y = f(x) ее производной функции называют дифференцированием функции f(x). УПРАЖНЕНИЕ. Доказать по определению, что (sinx) ? = cosx, (cosx) ? = –sinx, ?x?? (ex) ? = ex , (ax) ? = ax ? lna , ?x??

2. Физический и геометрический смысл производной

1) Физический смысл производной. Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная f ?(x) – скорость изменения величины y относительно величины x . ПРИМЕРЫ. а) Пусть S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t. Тогда производная S ? (t0) – скорость в момент времени t0. б) Пусть q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t. Тогда q ? (t0) – скорость изменения количества электричества в момент времени t0, т.е. сила тока в момент времени t0. в) Пусть m = m(x) – масса отрезка [a ; x]. Тогда m ? (x) – скорость изменения массы в точке x0, т.е. линейная плотность в точке x0.

2) Геометрический смысл производной

Пусть ? – некоторая кривая, M0 – точка на кривой ?. Любая прямая, пересекающая ? не менее чем в двух точках, называется секущей. Касательной к кривой ? в точке M0 называется предельное положение секущей M0M1, если точка M1 стремится к M0, двигаясь по кривой. Очевидно, что если касательная к кривой в точке M0 существует, то она единственная.

Рассмотрим кривую y = f(x)

ассмотрим кривую y = f(x). Пусть в точке M0(x0 ; f(x0)) она имеет невертикальную касатель- ную M0N. Таким образом, получили: f ?(x0) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)). (геометрический смысл производной функции в точке). ?Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)) можно записать в виде

Замечания

1) Прямая, проходящая через точку M0 перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке M0, называется нормалью к кривой в точке M0. Т.к. для угловых коэффициентов перпендикулярных прямых справедливо равенство k1 ? k2 = –1 , то уравнение нормали к y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)) будет иметь вид , если f ?(x0) ? 0. Если же f ?(x0) = 0, то касательная к кривой y = f(x) в точке M0(x0 ; f(x0)) будет иметь вид y = f(x0), а нормаль x = x0.

2) Пусть кривая y = f(x) имеет в точке M0(x0 ; f(x0)) вертикальную

) Пусть кривая y = f(x) имеет в точке M0(x0 ; f(x0)) вертикальную касательную M0N , ? – угол наклона секущей M0M1 к Ox. Таким образом, если кривая y = f(x) имеет в точке M0(x0 ; f(x0)) вертикальную касательную, то функция y = f(x) не имеет в точке x0 производной. Так как в соседних с M0 точках кривая y = f(x) имеет касательные и их угол наклона к оси Ox стремится к 90? при ?x ? 0, то x0 является для функции f(x) точкой разрыва II рода, причем

3. Правила дифференцирования

1) Производная константы равна нулю, т.е. C ? = 0, где С – константа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно 2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно 3) Производная произведения находится по правилу: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно Замечание. Формула дифференцирования произведения может быть легко обобщена на случай большего числа множителей. Например,

, где С – константа

Говорят: «константа выносится за знак производной». 5) Производная дроби находится по правилу: 6) Если функция ?(t) имеет производную в точке t, а функция f(u) имеет производную в точке u = ?(t), то сложная функция y = f(?(t)) имеет производную в точке t, причем (правило дифференцирования сложной функции). 7) ТЕОРЕМА 3 (о производной обратной функции). Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке x0, причем f ?(x0) ? 0. Если существует обратная функция x = ?(y), то она имеет производную в точке y0 = f(x0) и ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

УПРАЖНЕНИЯ

1) Зная, что (sinx) ? = cosx, (cosx) ? = –sinx, (ex) ? = ex, получить формулы 2) Используя теорему о производной обратной функции, доказать, что

По определению и с помощью правил дифференцирования находят

производные основных элементарных функций (так называемая «таблица производных», см. на сайте). Производная любой элементарной функции находится с помощью таблицы производных и правил дифференци- рования.