Системы счисления

Системы счисления

Математические основы информатики

Ключевые слова

Система счисления цифра алфавит позиционная система счисления основание развёрнутая форма записи числа свёрнутая форма записи числа двоичная система счисления восьмеричная система счисления шестнадцатеричная система счисления

Общие сведения

Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа,. Алфавит системы счисления - совокупность цифр.

Вавилонская система счисления

Египетская система счисления

Древнеславянская система счисления

Узловые и алгоритмические числа

? 100 +

? 10 +

=

Узловые числа обозначаются цифрами.

Алгоритмические числа получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

Унарная система счисления

Простейшая и самая древняя система - так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек.

Узелки, дощечки

Примеры узлов «кипу»

Узелковое письмо «кипу»

Зарубки

Камушки

1935

28

M

X

X

C

V

M

I

X

I

X

I

X

V

40

X

L

=

Непозиционная система счисления

1

I

100

C

5

V

500

D

10

X

1000

M

50

L

Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Римская система счисления

Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Позиционная система счисления

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичная система счисления

Цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н. э.

Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н. э.

Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе.

Основная формула

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: Aq =±(an–1?qn–1+ an–2 ? qn–2+…+ a0 ? q0+ a–1?q–1+…+ a–m? q–m) Здесь: А — число; q — основание системы счисления; ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; n — количество целых разрядов числа; m — количество дробных разрядов числа; qi — «вес» i-го разряда. Такая запись числа называется развёрнутой формой записи.

Развёрнутая форма

Aq =±(an–1 ? qn–1+ an–2 ? qn–2+…+ a0 ? q0+ a–1 ? q–1+…+ a–m ? q–m) Примеры записи чисел в развёрнутой форме: 2012=2?103 +0?102 +1?101 +2?100 0,125=1?10-1 +2?10-2 +5?10–3 14351,1=1?104 +4?103 +3?102 +5?101 +1?100 +1?10–1

Двоичная система счисления

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Двоичный алфавит: 0 и 1.

Для целых двоичных чисел можно записать: an–1an–2…a1a0 = an–1?2n–1 + an–2?2n–2 +…+ a0?20 Например: 100112 =1?24+0?23+0?22+1?21+1?20 = 24 +21 + 20 =1910

Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:

Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

Правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления

. . .

an–1?2n–1+an–2?2n–2+… a1?21 +a0

= An–1?2n–2 +…+ a1 (остаток a0)

2

an–1?2n–1+an–2?2n–2+… a1

= An–1?2n–3+…+ a2 (остаток a1)

2

an–1?2n–1+an–2?2n–2+… a2

= An–1?2n–4 +…+ a3 (остаток a2)

2

На n-м шаге получим набор цифр: a0a1a2…an–1

Компактное оформление

363

181

90

45

22

11

5

2

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

36310 = 1011010112

314

157

78

39

19

9

4

2

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

31410 = 1001110102

Восьмеричная система счисления

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. an–1an–2…a1a0 = an–1?8n–1+an–2?8n–2+…+a0?80 Пример: 10638 =1?83 +0?82+6?81+3?80=56310. Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.

Шестнадцатеричная система счисления

154

16

-144

9

16

10

9

0

(А)

15410 = 9а16

Основание: q = 16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 3АF16 =3?162+10?161+15?160 =768+160+15=94310.

Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления

Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с

основанием q

1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю; 2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления; 3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.

Цифровые весы

Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 1 до 16

Десятичная система

Двоичная система

Восьмеричная система

Шестнадцатеричная система

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

17

10001

21

11

18

10010

22

12

Двоичная арифметика

+

Х

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

10

1

0

1

Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:

Арифметика одноразрядных двоичных чисел

Арифметика многоразрядных двоичных чисел

Умножение и деление двоичных чисел

«Компьютерные» системы счисления

Двоичная система используется в компьютерной технике, так как: двоичные числа представляются в компьютере с помощью простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями; представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво; двоичная арифметика наиболее проста; существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

Двоичный код удобен для компьютера. Человеку неудобно пользоваться длинными и однородными кодами. Специалисты заменяют двоичные коды на величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления.

Самое главное

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: Aq =±(an–1?qn–1 + an–2?qn–2 +…+ a0?q0 + a–1?q–1 +…+ a–m?q–m) Здесь: А — число; q — основание системы счисления; ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; n — количество целых разрядов числа; m — количество дробных разрядов числа; qi — «вес» i-го разряда.

Вопросы и задания

Цифры каких систем счисления приведены на рис.?

Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения.

Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?

Чем различаются унарные, позиционные и непозиционные системы счисления?

Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную: а) 513 б) 600 в) 2010

Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную: а) 513 б) 600 в) 2010

Запишите в развёрнутом виде числа: а) 143,51110 б) 1435118 в) 14351116 г) 1435,115

Укажите, какое из чисел 1100112, 1114,358 и1В16 является: а) наибольшим б) наименьшим

Верны ли следующие равенства? а) 334 =217 б) 338 =214

Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную: а) 89 б) 600 в) 2010

Выполните операцию сложения над двоичными числами: а) 101010 + 1101 б) 1010 + 1010 в) 10101 + 111

Выполните операцию умножения над двоичными числами: а) 1010 · 11 б) 111 · 101 в) 1010 · 111

Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе: а) 1100 ? 11 ? 100 = 100000; б) 1100 ? 10 ? 10 = 100; в) 1100 ? 11 ? 100 = 0.

Вычислите выражения: а) (11111012 +AF16):368 б) 1258 + 1012 ·2A16 – 1418 Ответ дайте в десятичной системе счисления.

Запишите десятичные эквиваленты следующих чисел: а) 1728 б) 2ЕА16 в) 1010102 г) 10,12 д) 2436

Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

Найдите основание х системы счисления, если: а) 14x=910 б) 2002x=13010

Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.

Основание 2

Основание 8

Основание 10

Основание 16

101010

127

321

Задачник «Системы счисления»

2а

Опорный конспект

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа. Алфавит - совокупность цифр системы счисления.

Система счисления

Позиционная

Непозиционная

Римская

Двоичная

Десятичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: Aq =±(an–1* qn–1 + an–2* qn–2 +…+ a0*q0 + a–1* q–1 +…+ a–m * q–m).

Электронные образовательные ресурсы

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/caeea6cc-bd1d-4f47-9046-1434ac57e111/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Умножение и деление двоичных чисел http://school-collection.edu.ru/catalog/res/402b749c-240b-4e16-9e4d-bea3fc4fa8fa/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – История развития систем счисления http://school-collection.edu.ru/catalog/res/1a264912-eca9-4b45-8d77-c3655b199113/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Перевод недесятичных чисел в десятичную систему счисления http://school-collection.edu.ru/catalog/res/78ba290c-0f7c-4067-aaf4-d72f40f49f3b/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Перевод десятичных чисел в другие системы счисления http://school-collection.edu.ru/catalog/res/67cbf74b-f85a-4e9d-88c5-58f203fb90ce/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел http://school-collection.edu.ru/catalog/res/8bb7eefa-4ed9-43fe-aebe-4d6ac67bc6ec/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Сложение и вычитание одноразрядных двоичных чисел http://school-collection.edu.ru/catalog/res/fc77f535-0c00-4871-b67c-fa2ecf567d46/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Задачник http://school-collection.edu.ru/catalog/res/a96df437-5ae3-4cab-8c5f-8d4cd78c5775/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Развернутая форма записи числа http://school-collection.edu.ru/catalog/res/19d0fb95-871d-4063-961d-e7dc5725e555/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Тренировочный тест