Системы счисления

Системы счисления

Работу выполнили: Павлова Наталья – 8класс Пасхина Алена – 10класс Руководитель - Ермолова О. А.- учитель математики МБОУ СОШ п. Известковый 2013

План работы

Сбор материала. Анализ и систематизация собранной информации. Обоснования и суждения. Вывод. Актуальность Проблема Цель Объект Предмет Гипотеза

Цель проекта

Изучить: -происхождение и развитие письменной нумерации; -цифры разных народов; - непозиционные и позиционные системы счисления; -показать какое значение имеет в современном мире десятичная, двоичная системы счисления. Задача: научится переводить число из одной системы счисления в другую. Проблема- как возникла десятичная система счисления?

Изучить: -происхождение и развитие письменной нумерации; -цифры разных народов; - непозиционные и позиционные системы счисления; -показать какое значение имеет в современном мире десятичная, двоичная и системы счисления. Проблема- как возникла десятичная система счисления?

Содержание:

1. Что такое системы счисления? 2. О происхождении и развитии письменной нумерации 3. Вавилонская нумерация 4. Египетская иероглифическая нумерация 5. Римская система счисления. 6. Славянская алфавитная нумерация. 7. Китайские иероглифические цифры. 8. Позиционные системы счисления. 9. Почему мы считаем именно десятками, то есть как возникла десятичная система счисления? 10. Двоичная система счисления. 11. Позиционная запись числа. 12. Необыкновенная девочка. 13. Перевод числа из недесятичной системы счисления в десятичную и наоборот. 14. Сложение и умножение двоичных чисел. 15. Актуальность двоичной и восьмеричной систем счисления. 16. Вывод 17. Литература

Кто хочет ограничится настоящим, без знания прошлого, тот никогда его

не поймет… Лейбниц

Как возникла гипотеза

Как возникла гипотеза?

Необыкновенная девочка. Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – Все это, правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий Прочитав это стихотворение, я задумалась. Что же означают эти выражения 1100 лет, 101класс, десяток ног, десяток темно – синих глаз? И выдвинула свою гипотезу – Числа записаны в другом измерении. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали И десять темно- синих глаз Рассматривали мир привычно… Но станет всем совсем обычно Когда поймете наш рассказ. А. Стариков.

Что такое система счисления

Понятие «число» является ключевым для математики. С числами связано еще одно важное понятие – система счисления. Система счисления – это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Рассмотрим эти системы счисления, которые существовали раньше.

О происхождении письменной нумерации

Люди научились считать давно. В последствии появились потребности в записи чисел. Количество предметов изображалось нанесением черточек, засечек на какой-нибудь твердой поверхности, узлами на веревках. Археологами найдены такие записи при раскопках. Они относятся к 10 – 11 тысячелетию до н.э. Но с развитием производства и культуры, когда появилась нужда записывать большие числа, стало неудобно пользоваться черточками. Стали вводить особые знаки для отдельных чисел. Каждое число, как и каждое слово, обозначалось особым знаком, иероглифом.

Вавилонская нумерация

Народ населявший Древний Вавилон, писали не на папирусе, который в их стране не рос, а на глине. Путем нажима клиновидной палочки на глиняные плитки наносились знаки, имевшие вид клиньев. Вот почему такое письмо называ - ется клинописью. Плитки сушились на знойном солнце и приобретали прочность. Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась из двух значков: вертикального клина, обозначавшего единицу, и углового знака, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Остатки этой шестидесятеричной системы мы находим в единицах измерения времени: 1час – 60 минут, 1минута – 60 секунд.

Египетские иероглифические цифры

В Древнем Египте около 4000 лет назад имелись другие значки и иероглифы для обозначения чисел. Единица изображена колом, десяток десяток- как бы парой рук, сотня - свернутым пальмовым листом, тысяча – цветком лотоса, символом обилия, сто тысяч – лягушкой, так как лягушек было очень много во время разлива Нила. 35736 Какое число изображено на рисунке?

Римская система счисления

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тыс. лет назад в Древнем Риме. I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 28=XXVIII = 10+10+5+1+1+1(три десятка, пяток, три единицы).Для записи чисел применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак , поставленный слева от большего, вычитается из него. 9=IX, 11=XI, 99=XCI. Система исчисления, которую ввели римляне, была распространена по всей Европе вплоть до XVI века. До сих пор римские цифры используют в часах и в нумерации (века, тома, главы книги), но такая система цифр была слишком сложной.

Славянская алфавитная нумерация

Русская книга податей

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие римскую. Они назывались ясачные. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради.

Китайские иероглифические цифры

Запись чисел китайскими иероглифами

В Китае рано начали накапливаться сведения математического характера и появилась запись чисел. При этом китайские иероглифические цифры были по записи еще сложнее египетских. Эта нумерация одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта нумерация около 4000 лет тому назад. Записывали числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. число 5871

Числа древних племен индейцев майя

«Цифры майя – позиционная запись, основанная на двадцатеричной системе счисления. Цифры мая составлялись из трех знаков: нуля («знак ракушки»), единицы (точки пятерки (горизонтальная черта). Например, 19 писалось как четыре точки в горизонтальном ряду над тремя горизонтальными линиями». ••••

Основные недостатки непозиционных систем счисления

Теоретически имеют бесконечное количество цифр; Арифметические действия над числами в них очень сложны; Например, умножить: XXXII и XXIV; Поэтому преимущественное применение получили позиционные системы счисления.

Самое главное

Как мы ранее говорили различают позиционные и непозиционные системы счисления. Известно множество способов записи чисел. Наиболее удобными для записи чисел являются позиционные системы, так как в них: 1) небольшое количество цифр применяется для записи чисел; 2) удобно производить арифметические операции.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры в числе называется разрядом. Каждая позиционная системы счисления имеет определенный алфавит цифр и основание

. В позиционных системы счисления основание системы равно количеству

цифр (знаков в алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов

Система счисления Основание Алфавит цифр Десятичная 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Двоичная 2 0,1 Восьмеричная 8 0,1,2,3,4,5,6,7 Шестнадцатеричная 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, А(10), В(11), C(12), D(13), E(14), F(15)

Десятичная позиционная система

Система счета, которую мы используем сегодня, была изобретена в Индии V –VIIв.в. - десятичная позиционная система. Арабские купцы распространили ее по всей Европе к 900 годуИзвестно, что счет у нас ведется десятками: десять единиц образуют один десяток, десять десятков – одну сотню и т. д. Такой способ счета, группами в десять, которым пользуемся мы, называется десятичной системой счисления или десятичной нумерацией. Число десять называется основанием десятичной системы счисления. Но почему мы считаем именно десятками, то есть как возникла десятичная система счисления? Подобно тому как учатся считать по пальцам дети, так и и народы, люди на первых ступенях развития общества считали с помощью десяти пальцев рук. Поныне говорят: «Перечесть по пальцам…» Отсюда десятичная система счисления.

Двоичная система счисления

В современном мире кроме десятичной системы счисления особое место занимают еще три позиционные системы счисления - двоичная и восьмеричная и шестнадцатеричная. Особенно многочисленны применения двоичной системы, использующей всего две цифры – 0 и 1. Она оказалась наиболее удобной при конструировании электронных вычислительных машин и устройств кодирования. Дело в том , что наиболее надежные и миниатюрные элементы, запоминающие и перерабатывающие информацию, имеют два устойчивых состояния которым соответствуют цифры 0 и 1.

Позиционная запись числа

Необыкновенная девочка

Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – Все это, правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали И десять темно – синих глаз Рассматривали мир привычно… Но станет всем совсем обычно Когда поймете наш рассказ. А. Стариков

Обыкновенная девочка

А сейчас давайте подумаем, что это за необыкновенная девочка? 1100 лет, 101класс, 100 книг, 10 ног. 11002 = 1?23 + 1?22 + 0?21 + 0?20 = 8 +4 +0 + 0 =12, 1012= 1?22 + 0?21 + 1?20 =5. 1002 = 1?22 + 0?21 + 0?20 = 4, 102 =1?21 + 0?20 = 2. Это была обыкновенная девочка, ей было 12лет, ходила в 5 класс, в портфеле по 4 книги носила. 1100, 101, 100 10 - числа записаны в двоичной системе.

Перевод числа из десятичной системы счисления в недесятичную

Если число записано в десятичной системе счисления, а его надо перевести например в пятеричную, то делят это число на 5 с остатком. Потом делят на 5 с остатком неполное частное и. т.д. и делят неполные частные до тех пор, пока не получится неполное частное, равное нулю. Выписывая подряд остатки, начиная с последнего и кончая первым получаем искомую пятеричную запись нашего числа.

Перевод числа из десятичной системы счисления в пятеричную систему

Запишем число 23910 в пятеричной системе счисления. Решение. Имеем 239 5 Ост. 4 47 5 Ост. 2 9 5 Ост. 4 1 5 Ост. 1 0 Значит 2391010 = 14245 . Для получения искомого числа мы последовательно записываем в строку, взяв снизу вверх все полученные при делении остатки.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную

38 2 12 2 0 1 9 2 0 6 2 1 9 2 0 3 2 1 4 2 1 1 2 0 2 2 1 0 0 1 2 1 0 Ответ: 3810 = 1001102, 1210 = 11002.

Таблицы сложения и умножения чисел в двоичной системе счисления

Сейчас вы убедитесь в том, что двоичная арифметика очень проста. Таблицу умножения десятичных чисел многие ученики заучивают долго и с большим трудом. Но вот если бы в школе изучали не десятичную, а двоичную арифметику. Проблем бы не было ни у кого и все ученики были бы отличниками. Приведем эти таблицы для двоичной и троичной систем счисления: снование системы - 2. основание системы– 3.

+

0

1

*

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

10

1

0

11

+

0

1

2

*

0

1

2

0

0

1

2

0

0

0

0

1

1

2

10

1

0

1

2

2

2

10

11

2

0

2

11

Какую роль в современном мире играют системы счисления

В настоящее время десятичная система стала общепринятой во всем мире. Великий ученый Д. И. Менделеев сказал: «Число, выраженное десятичным знаком, прочтет и немец и русский, и араб, и янки одинаково». В современном мире особое место занимают еще три позиционные системы счисления – двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Особенно многочисленны применения двоичной системы, использующей всего две цифры – 0 и 1. Она оказалась наиболее удобной при конструировании ЭВМ и устройств кодирования. ЭВМ выполняют арифметические расчеты в двоичной системе. Тому есть две причины: - простота устройств хранения двоичных цифр (0 и1); - простота двоичной арифметики. Гораздо проще сконструировать процессор, который работает в двоичной системе счисления.

Единица количества информации

Компьютер работает в двоичной системе счисления. С вступлением общества в век компьютерных технологий появилась возможность более эффективной обработки и хранения информации и ее представления. Это позволило эффективно хранить и обрабатывать большие потоки информации. Всем кто имеет дело с ЭВМ, известна единица количества информации (памяти ЭВМ) – бит ( от латинских слов binary digit – двоичная цифра). Восемь бит составляют более крупную единицу – байт. Память ЭВМ измеряют обычно в килобайтах (1 килобайт – 210 байт) и мегабайтах (1 мегабайт – 220 байт).

В ходе проведения исследования:

- исследовали историю и развитие систем счисления, - исследовали практический материал, - рассмотрели область применения и выявили актуальность темы. Нами решены задачи: -как возникла десятичная система счисления, - перевод числа из одной системы счисления в другую, - арифметические действия в двоичной системе счисления.

Литература

1.Энциклопедический словарь юного математика. Составитель Савин А. 2. История математики в школе. Г. И. Глейзер 3. Материал для внеклассной работы по математике. Ф.М. Шустеф. 4. Алгебра 8 класс Н. Я. Виленкин. 5. Информатика (базовый курс) 7 – 9класс И. Семакин. 6. Интернет.