Системы счисления

Системы счисления

Оглавление

Основные понятия Алгоритмы перевода Примеры перевода чисел в системах счисления 1) (10) ? (2) 2) (2) ? (8) 3) (2), (8) ? (10)

Основные понятия

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена x = anPn + an-1Pn-1 +...+ a1P1 + a0P0 + a-1P-1 +...+ a-mP-m

am ? {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 346 = 3

102+4?101+6?100

Десятичная система счисления

am ? {0,1} 1112=1·22+1·21+1·20

Двоичная система счисления

am ? {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F} 10,11,12,13,14,15 1710 =

1?161+1?160 = 1116

Шестнадцатиричная система счисления

1. Алгоритмы перевода (10)=>P

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм: если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

Алгоритмы перевода (10)=>P (продолжение)

если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

Примеры перевода чисел

Из десятичной системы счисления в двоичную

А) 464 | 0 б) 380 | 0 |1875 в) 115 | 1 232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88 116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76 58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52 29 | 1 23 | 1 1|0 7 | 1 1|04 14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08 7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16 3 | 1 2 | 0 1 | 1 1 | 1 а) 464(10) = 111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2); в) 115,94(10) = 1110011,11110(2)

2. Алгоритмы перевода (2)=>P

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах на следующем слайде.

Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101

11(2).

0011 1101 0101,1100(2) = 3D5,C(16).

Примеры перевода чисел

001 111 010 101,110(2) = 1725,6(8).

001

010

011

100

101

110

111

1

2

3

4

5

6

7

Переведем из двоичной системы в восьмеричную

3. Алгоритмы перевода P=>(10)

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

Примеры перевода чисел

Переведем данное число в десятичную систему счисления

1000001(2) =1? 26+0? 25+0? 24+0?23+0? 22+ 0?21+ +1? 20 = 64+1=65(10) ; 1375(8) =1?83 + 3?82 +7?81 +5?80 = 512+192+56+ +5 = 765(10).

Контрольные вопросы и задания

Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной? Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)? Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)? Зашифруйте следующие десятичные числа, преобразовав их в двоичные (восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128. Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101. Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, 1015. Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5, 63.

Спасибо за внимание

!!