Презентация на тему «Системы счисления»

Системы счисления

Путешествие в историю чисел

Система счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения

и именования чисел.

Люди научились считать очень давно, еще в каменном веке. У некоторых племен Австралии и Полинезии до последнего времени было только два числительных: «один» и «два». Как только люди научились считать у них возникла потребность записывать числа. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких либо значков.

Обозначение чисел и счет в Древнем Египте

Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и так далее использовались специальные значки — иероглифы. Вот они:

С течением времени эти знаки изменились и приобрели более простой вид:

Все остальные числа составлялись из этих ключевых символов при помощи операции сложения. Например, чтобы изобразить 3 252, рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы):

Система счисления называется непозиционной, если в ней количественные

значения символов, используемых для записи чисел, не зависят от их положения (места, позиции) в коде числа.

Система счисления Древнего Египта является непозиционной. Особую роль у египтян играло число 2 и его степени. Умножение и деление они проводили путем последовательного удвоения и сложения чисел. Выглядели такие расчеты довольно громоздко.

Например, чтобы умножить 15 на 24, составляли следующую таблицу

1

24

Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

2(1•2)

48

4(2 •2)

96

8(4 •2)

192

16(8 •2)

384

Римская система счисления

В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для чис­ла 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.

Для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centun — сто, Demimille — половина тысячи, Mille — тысяча). Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание ключевых чисел. При этом применялось следующее правило. Значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака. Например, запись IX обозначает число 9, а запись XI — число 11

Десятичное число 28 представляется сле­дующим образом: XXVIII = 10+10 + 5 + 1 + 1 + 1. Десятичное число 99 имеет такое представление: ХС1Х = -10+100 -1+10.

Обозначения для последних четырех чисел с течением времени претерпели значительные изменения. Ученые предполагают, что первоначально знак для числа 100 имел вид пучка из трех черточек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 — вид верхней половинки этой буквы, которая в дальнейшем трансформировалась в знак L:

В наши дни любую из римских цифр предлагается записывать в одном числе

не более трех раз подряд. На основании этого построена таблица, которой удобно пользоваться для обозначения чисел римскими цифрами:

Единицы

Десятки

Сотни

Тысячи

Откройте рабочую тетрадь и пользуясь таблицей выполните задания стр. 10 №13, №14

Действительно, в соответствии с приведенным выше правилом, число 1995 можно записать, например, следующими способами: МСМХСV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5, МDССССLХХХХV - 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + +50+10 + 10 + 10 + 10 + 5, МVМ = 1000 + (1000 - 5), LDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) и так далее.

1 I

10 X

100 с

1000 м

2 II

20 XX

200 сс

2000 мм

3 III

30 XXX

300 ссс

3000 ммм

4 IV

40 хl

400 сd

5 V

50 L

500 D

6 VI

60 lх

600 dс

7 VII

70 lхх

700 dсс

8 VIII

80lххх

800 dссс

9 IX

90 хс

900 см

Алфавитные системы счисления

Наряду с иероглифическими в древности широко применялись алфавитные системы счисления, в которых числа изображались буквами алфавита. Так, в Древней Греции числа 1, 2, ..., 9 обозначали первыми девятью буквами греческого алфавита: ? = 1, ? = 2, ? = 3 и так далее. Для обозначения десятков применялись следующие девять букв: ? = 10, ? = 20, ? = 30, ?= 40 и так далее. Для обозначения сотен использовались последние девять букв: ?= 100, ? = 200, ? = 300 и так далее.

Алфавитной нумерацией пользовались также южные и восточные славянские народы. Над буквой обозначавшей цифру ставили специальный значок «титло»

Так как запись чисел с помощью алфавитной системы счисления была

достаточно сложна, то в старину на Руси среди простого народа широко применялись системы счисления, отдаленно напоминающие римскую. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати — ясака (ясачные грамоты) и делали записи в податной тетради. Вот текст закона об этих так называемых ясачных знаках: «Чтобы на каждой квитанции, выдаваемой Родовитому Старосте, от которого внесен будет ясак, кроме изложения словами, было показано особыми знаками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания. Употребляемые в квитанции знаки означают:

Дабы не можно было сделать здесь никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиями.» Например, 1232 рубля 24 копейки изображались так:

Позиционные системы счисления

Система счисления называется позиционной, если количественные значения символов, используемых для записи чисел, зависят от их положения (места, позиции) в коде числа.

Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827) такими словами оценил «открытие» позиционной системы счисления: «Мысль — выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна.» Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую

позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в Древнем Вавилоне примерно в III тысячелетии до нашей эры. До нашего времени дошли многие глиняные таблички Древнего Вавилона, на которых решены сложнейшие за­дачи, такие как вычисление корней, отыскание объема пирамиды и др. Для записи чисел вавилоняне использовали всего два знака: клин вертикальный (единицы) и клин горизонтальный (десятки). Все числа от 1 до 59 записыва­лись с помощью этих знаков, как в обычной иероглифической системе.

Все число в целом записывалось в позиционной системе счисления с основанием 60. Поясним это на примерах.

В привычной нам системе счисления для записи чисел используются десять

различных знаков {цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9). Поэтому ее называют десятичной. Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в 10 раз больше правой. Не только сама цифра, но и ее место, ее позиция в числе имеют определяющее значение. Поэтому данную систему счисления называют позиционной. Потребовалось много тысячелетий, чтобы люди научились называть и записывать числа так, как это делаем мы с вами. Начало этому было положено в Древнем Египте и Вавилоне. Дело в основном завершили индийские математики в V-VII веках нашей эры. Важным достижением индийской науки было введение особого обозначения для пропуска разрядов — нуля. Арабы, познакомившись с этой нумерацией первыми, по достоинству ее оценили, усвоили и перенесли в Европу. Получив название арабской, эта система в XII веке нашей эры распространилась по всей Европе и, будучи проще и удобнее остальных систем счисления, быстро их вытеснила.

Выполните в рабочей тетради упражнения: №11, №16, №17 (1,2)

Выучите записанные определения Выполните в рабочей тетради №12, 15, 17(3,4,5)