Презентация на тему «Темы лекции: 1. Основы интегрального исчисления»

Темы лекции: 1. Основы интегрального исчисления

2. Понятие о дифференциальных уравнениях Лекция №2 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности Лечебное дело Лектор: Рузанова Л.Н. Красноярск 2015

Кафедра медицинской и биологической физики

План лекции:

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Основные формулы и методы интегрирования. Дифференциальные уравнения, типы и способы их решения

Первообразная функции и неопределенный интеграл

Функция F(x), называется первообразной функции f(x), если ее производная F'(x) равна функции f(x): F'(x) = f(x), dF(x)=f(x)dx. Совокупность всех первообразных F(x)+C данной функции f(x) называется неопределенным интегралом. ?f(x)dx=F(x)+C, f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция, С- произвольная постоянная.

Графики первообразных функций

Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d(?F(x)dx) = F(x)dx; 2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции: ?d(F(x))= F(x) + C; 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ?kf(x)dx = k?f(x)dx; 4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых: ?(f1(x) ± f2(x))dx= ?f1(x)dx± ?f2(x)dx.

Таблица интегралов основных функций

Некоторые методы интегрирования

Интегрирование по формулам. Внесение под знак дифференциала Интегрирование посредством замены переменной. Интегрирование по частям.

Понятие определенного интеграла

Выражение называют определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a;b], значение а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования. Неопределенный интеграл – это совокупность функций, отличающихся друг от друга на некоторую константу. Определенный интеграл – это число, значение которого определяется видом подынтегральной функции и значениями верхнего b и нижнего а пределов интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла: Определенный интеграл

равен площади под графиком функции f(x).

Свойства определенного интеграла:

При перестановке пределов интегрирования изменяется знак интеграла: Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

Формула Ньютона -Лейбница

Определенный интеграл равен разности значений первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение – равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции. F(x,f(x),f'(x),f''(x),…,f(n)(x),С)=0. Если функция зависит от одной переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Порядок дифференциального уравнения определяется порядком высшей производной, содержащейся в этом уравнении. Решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x), обращающая его в тождество при подстановке ее в это уравнение.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Записать производную в виде: Разделить переменные, т.е. выражения, содержащие переменную х, должны находиться в правой части уравнения, выражения, содержащие переменную y, – в левой части уравнения; Проинтегрировать обе части равенства и записать решение в виде y=f(x); Выполнить проверку, подставив найденную функцию в уравнение.

Основные типы дифференциальных уравнений и способы их решения

Уравнение вида y'= f(x).

Уравнение вида y'= f(у)

Уравнение с разделяющимися переменными вида

Общее и частное решение дифференциального уравнения

Общее решение дифференциального уравнения - множество решений, определяющихся формулой, содержащей одну произвольную постоянную. Частным называется решение дифференциального удовлетворяющее определенным условиям, при этом константа вычисляется и имеет вполне определенное значение.

Заключение

Нами были рассмотрены: Следующие понятия: первообразная функции неопределенный интеграл определенный интеграл, дифференциальное уравнение Примеры нахождения интегралов и решения дифференциальных уравнений.

Рекомендуемая литература

Обязательная: Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики: учебник для мед.вузов.- М.: ГЭОТАР-Медиа, 2007.- Дополнительная: Математика в примерах и задачах: учебное пособие /Л.Н.Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В.Никонова и др.- М.: ИНФРА-М, 2010.- Шаповалов К.А. Основы высшей математики: учебное пособие. -Красноярск: Печатные технологии, 2004 Математика: метод. указания к внеаудит. работе для студ. по спец. – педиатрия /сост. Л.А.Шапиро и др.- Красноярск: тип.КрасГМУ, 2009.- Электронные ресурсы: ЭБС КрасГМУ Ресурсы интернет

Благодарю за внимание