Цифры

Цифры

XVII

17

Цифры (позднелатинское cifra, от арабского сифр – нуль, буквально – пустое место; арабы этим словом называли знак отсутствия разряда в числе) – условные знаки для обозначения чисел. Древнейшие известные нам цифры – цифры вавилонян (2-е тысячелетие до нашей эры – начало нашей эры) и египтян (2500-3000 годы до нашей эры). Робинзон Крузо, Эдмон Дантес, библиотекари:

Римские цифры

Римские цифры – традиционное название знаковой системы для обозначения чисел, основанной на употреблении особых символов для десятичных разрядов:

Incomitatus?

?

?

?

Centum - сто

?

Millennium?

I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1000

Римские цифры – знаковая система

Возникла около 500 лет до нашей эры у этрусков и использовалась в Древнем Риме; иногда употребляется и в настоящее время. В этой системе натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая – перед большой, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правила применяется только во избежание четырехкратного повторения одной и той же цифры.

Римские цифры

Например, I, X, C ставятся соответственно перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400. Например, VI=5+1=6, IV=5-1=4 (вместо IIII), XIX=10+(10-1)=19 (вместо XVIIII), XL=50-10=40 (вместо XXXX), XXXIII=10+10+10+1+1+1=33 и т.д. Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи весьма неудобно. В титрах зарубежного фильма указан год его выпуска: MCMXLVII или MCMXCIX. Какой это год в арабских числах?

Арабские цифры

Арабские цифры – традиционное название десяти математических знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которых в десятичной системе счисления записываются любые числа. Эти цифры возникли в Индии (не позднее 5 века), в Европе стали известны в 10-13 веках по арабским сочинениям (отсюда название).

Числа со знаком «минус» (меньше нуля) называются отрицательными

Такими числами пользовались индийские математики уже в VII веке нашей эры, а китайские — еще раньше. Индийские ученые пытались и в жизни найти примеры существования отрицательных чисел, но безрезультатно. Это чисто абстрактное понятие, необходимое лишь для решения сложных алгебраических уравнений.

Диофант Александрийский (др

-греч. ????????? ? ???????????; лат. Diophantus)

Диофант

Диофант (вероятно 3 век) – древнегреческий математик из Александрии. Нередко упоминается как «отец алгебры». Сохранилась часть его математического трактата «Арифметика» (6 книг из 13), где дается решение задач, в большинстве приводящихся к неопределенным уравнениям (т.н. диофантовым уравнениям) до 4-й степени, решение которых ищется в рациональных положительных числах (отрицательных чисел во времена Диофанта не было). Во времена Диофанта не было отрицательных чисел. Уравнение x+7=3 решения не имело. Решить задачу про пассажиров: Х+5-7+8=7. Отрицательные числа – мнимые числа?

Сегодня мы называем уравнение диофантовым, если его решения ограничены

целыми или рациональными числами.

Неизвестную Диофант называет «числом» (

? ? ? ? ? ? ) и обозначает буквой ?. Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы ?.

Диофант называл уравнения, требующие отрицательных чисел, неуместными

В Европе отрицательные числа долго не находили признания

В XIII-XVI веках отрицательные числа рассматривались европейцами лишь в исключительных случаях. Ещё французский философ, физик и математик Рене Декарт в XVII веке называл их «ложными числами». Только во второй половине XVII века уровень развития алгебры вынудил европейцев «узаконить» отрицательные числа.

Хорезми, аль-Хорезми Абу Абдалла Мухаммед бен Муса аль-Маджуси

(787, Хива, - около 850)

Хорезми

Хорезми, аль-Хорезми Абу Абдалла Мухаммед бен Муса аль-Маджуси (787, Хива, - около 850) – среднеазиатский математик и астроном. Автор арифметического трактата, который в 12 веке был переведен с арабского на латинский язык и по которому в Европе познакомились с индийской позиционной системой счисления. В алгебраическом труде Хорезми («Краткая книга восполнения и противопоставления» - Китаб мухтасар аль-джебр ва-л-мукабала) алгебра впервые рассматривается как самостоятельная отрасль математики, вводятся правила действий с алгебраическими количествами и систематически решаются уравнения 1-й и 2-й степени. Этот трактат долго служил основным руководством по алгебре в странах Европы.

Хорезми

Название операции «аль-джебр», состоящей в перенесении членов из одной стороны уравнения в другую с изменением знака, впоследствии стало названием раздела математики (алгебра). Имя аль-Хорезми (латинизированное Algorithmi) вошло в математику вначале как обозначение арифметики с помощью индийских чисел, а затем как общее название (алгоритм) всякой системы операций (вычислений), выполняемых по строго определенным правилам, которая после последовательного их выполнения приводит к решению поставленной задачи (например, алгоритм извлечения корня из числа).

Четыре алгебры

Традиционная (обычная школьная); булева алгебра; теории множеств; алгебра комплексных чисел.

Что такое алгебра

Алгебра в современном понимании может быть определена как наука о системах объектов той или иной природы, в которых установлены операции, по своим свойствам более или менее сходные со сложением и умножением чисел. Такие операции называются алгебраическими операциями. Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся эти операции.

Ассоциативность

Ассоциативность (от позднелат. Assotiatio – соединение) сочетательность, сочетательный закон, – свойство сложения или умножения чисел: ( a + b ) + c = a + ( b + c ), ( a ? b ) ? c=a ? ( b ? c ). В общем смысле операция * называется ассоциативной, если ( a * b ) * c = a * ( b * c ). Свойством ассоциативности обладает умножение матриц, подстановок, преобразование; векторное умножение не ассоциативно.

Дистрибутивность

Дистрибутивность (от лат. Distributivus – распределительный), распределительность, распределительный закон, - свойство, связывающее сложение и умножение чисел и выражающееся тождествами: a . ( b + c ) = a . b + a . c, (Д1) ( b + c ) . a = b . a + c . a. (Д2) Если «+» и «·» - произвольные бинарные алгебраические операции, то при выполнении обоих тождеств (Д1) и (Д2) операция «·» называется дистрибутивной относительно операции «+».

Коммутативность

Коммутативность (от позднелатинского Commutativus – меняющий(ся)), переместительность, переместительный закон, - свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами: a + b = b + a, a . b = b . a. В общем случае бинарная операция * называется коммутативной, если a * b = b * a. Свойством коммутативности обладают, например, сложение и умножение многочленов; векторное умножение и умножение матриц не являются коммутативными.

Числа

Натуральные {1, 2, 3, 4, …}. Целые (натуральные, ноль и отрицательные). На Северном речном вокзале Москвы есть причалы с номерами: 0 и -1. ? Рациональные (представимые в виде отношения N/M, M?0). Иррациональные (не представимые в виде N/M , M?0). Доказать, что корень из двух – это иррациональное число. Алгебраические (корни полинома). Трансцендентные (не являющееся корнем полинома). Комплексные (пример из волновой механики – сумма двух волн равная нулю).

Системы счисления

Системы счисления, построенные на позиционном принципе записи чисел, с основанием 10, 2, 8, 16: 2 – двоичная; 8 – восьмеричная; 10 – десятичная; 16 – шестнадцатеричная. Простота умножения двоичных чисел и примеры умножения шестнадцатеричных. Запись программистов (формат записи двоичных чисел всегда оговаривается особо): X = 10 = 012 = 0xA.