Виды и способы решения

Виды и способы решения

Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Примеры.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

.

y

1

x

0

?1

Масштаб ?:3

Или, принято эти две записи объединять в одну (подумайте, как это обосновать):

Таким образом, все корни в этом случае можно записать в виде совокупности:

a

Систематизируем полученные результаты в таблицу

y

1

x

0

?1

Масштаб ?:3

Или, принято эти две записи объединять в одну:

Таким образом, все корни в этом случае можно записать в виде совокупности:

Решение уравнения

Как и в предыдущем случае при и при графики функций и не имеют общих точек, следовательно уравнение корней не имеет

1

-1

Занесем полученные результаты в таблицу

Решение

Пример 1. Приведение уравнений к простейшему виду

Получаем частный случай, значит

Выразим из полученного равенства:

Окончательно имеем

Ответ:

Пример 2

Решение.

Применяя свойство нечетности синуса, получим

Следовательно,

Ответ:

Пример

Решите уравнение

Решение.

Ответ:

Учитывая четность косинуса, получим

Следовательно,

Делу время, потехе…

Из гнезда вылетели три ласточки. Какова вероятность того, что через 15 секунд они будут находиться в одной плоскости?

В 12-этажном доме есть лифт. На первом этаже живет всего 2 человека, от этажа к этажу количество жильцов увеличивается вдвое. Какая кнопка в лифте этого дома нажимается чаще других?

Тригонометрический тренажер

Варианты ответов

Задание 1.

1.

2.

4.

3.

Показать решение

Выход

Варианты ответов

Задание 2.

1.

2.

4.

3.

Показать решение

Выход

Продолжить

Задание 1.

Решение.

Задание 2

Варианты ответов

1.

2.

4.

3.

Показать решение

Выход

Задание 2

Решение.

Выход

2способ

Решение уравнений путем введения новой переменной. 3 способ. Решение уравнений путем разложения на множители. 4 способ. Решение однородных уравнений.

Немного истории…

На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией

и являлась её вспомогательным разделом. Астрономы при нахождении расстояний до планет и звёзд использовали свойства треугольника. Так возникла наука тригонометрия - наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые

сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад. Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е

Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к

решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была

создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении

треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

№164 (а), 166 (а), 169 (а), п. 11

Домашнее задание