Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площадей плоских фигур

Алгебра 11 класс

Республика Башкортостан г. Уфа МАОУ лицей № 155 Ивушкина Л. Д.

Найти площадь фигуры

Y=f (x) непрерывная f(x)?0 на [a; b]

y

y=f(x)

a

x

b

0

Найти площадь фигуры

Y=f(x) непрерывная f(x)?0 на [a; b]

y

a

b

x

y=f(x)

0

Найти площадь фигуры

Y = f (x), y = g (x) – непрерывные, f (x) ? g (x) на [a; b]

y

y=f (x)

y=g (x)

x

a

b

0

Найти площадь фигуры

Y = f (x), y = g (x) –непрерывные, f (x) ? g (x) на [a; b]

y

y=f (x)

a

0

x

b

y=g (x)

Найти площадь фигуры

Y = f (x), y = g (x) – непрерывные на [a; b] f (x) ? g (x) на [c; b] f (x) ? g(x) на [a; c], где с [a; b]

y

y=f (x)

a

b

0

c

x

y=g (x)

Найти площадь фигуры

Y = f (x) – непрерывная на [a; c] y = g (x) – непрерывная на [b; c] f (x) ? g (x) на [a; c], где с [a; b]

y

y=f (x)

y=g (x)

a

0

c

x

b

Найти площадь фигуры

Y = f (x) – непрерывная на [a; c] y = g (x) –непрерывная на [c; b], где с [a; b]

y

y=g (x)

y=f (x)

x

c

a

b

0

Разминка

Найти площадь изображенной фигуры

(Четность функции)

Разминка

Найти площадь изображенной фигуры

(Площадь прямоугольного треугольника)

Разминка

Найти площадь изображенной фигуры

(Равенство фигур)

Разминка

S = 2?

Найти площадь изображенной фигуры

(Площадь полукруга)

Разминка

S = 1

Найти площадь изображенной фигуры

(Площадь треугольника)

Задачи

1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

S = 19/12

1 способ S = S1 + S2 + S3

2 способ S = S1 + SABCD - SOCD

3 способ S = SEFCD - SEFB - SOCD

S3

S2

S1

2) Фигура, ограниченная линиями y=x+6, x=1, y=0, делится параболой

y=x2 + 2x + 4 на две части. Найти площадь каждой части.

S1 = 4,5 S2 = 20

1

Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми

y=3x + 1

y=9 - x

y=x + 1

Интересные задачи

1. Найти сумму площадей бесконечного количества фигур, изображенных на рисунке.

(Аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза)

Указания к решению: sin nx=0

Ответ: 4

Решение

sin nx=0 , nx= ?, x =

, Где n=1,2,4,8,...

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

У = x2 , при x ? 0

y = 1

y = 4

x =0

y

y=x2

4

1

x

1

0

Данная фигура симметрична криволинейной трапеции, ограниченной прямыми

x=1, x=4, y=0, графиком функции, обратной y=x2, x?0, т. е.

Поэтому фигуры

Имеют равные площади

y

y=x2

y=x

4

1

x

4

1

0

Если фигура ограничена линиями x=

1(y), x=?2(y), y=c; y=d, где c<d и ?2(y)??1(y), на [c; d], то ее площадь может быть вычислена по формуле

Используемая литература

Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений.2002г. Звавич Л.И., Рязановский А.Р., Поташник А.М. Сборник задач по алгебре и математическому анализу для 10-11 кл. Вып.1 «Интеграл и площадь» 1996г. Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. 10-11.Пособие для учителя. 1997г.