Метод проектов
<<  Численные методы решения СЛАУ Современные методы контрацепции  >>
Численные методы
Численные методы
Лекция 4 Закон Гука
Лекция 4 Закон Гука
Цели изучения:
Цели изучения:
Содержание
Содержание
4.1. Свободная энергия деформируемого тела
4.1. Свободная энергия деформируемого тела
Коэффициенты Ламэ
Коэффициенты Ламэ
Модули всестороннего сжатия и сдвига
Модули всестороннего сжатия и сдвига
4.2. Закон Гука
4.2. Закон Гука
Изотермическая сжимаемость
Изотермическая сжимаемость
4.3. Однородная деформация 4.3.1. Растяжение стержня
4.3. Однородная деформация 4.3.1. Растяжение стержня
Единственная растягивающая сила при однородной деформации
Единственная растягивающая сила при однородной деформации
Модуль Юнга
Модуль Юнга
Коэффициент Пуассона
Коэффициент Пуассона
Феноменологические коэффициенты
Феноменологические коэффициенты
Изменение свободной энергии при однородной деформации
Изменение свободной энергии при однородной деформации
4.4. Неизотермическое деформирование
4.4. Неизотермическое деформирование
4.4.2. Тензоры напряжений и деформаций
4.4.2. Тензоры напряжений и деформаций
4.4.3. Адиабатическое деформирование
4.4.3. Адиабатическое деформирование
4.4.4. Адиабатические и изотермические модули
4.4.4. Адиабатические и изотермические модули
Выводы
Выводы
Информационное обеспечение лекции
Информационное обеспечение лекции
Справочные данные
Справочные данные

Презентация на тему: «Численные методы». Автор: Family. Файл: «Численные методы.ppt». Размер zip-архива: 185 КБ.

Численные методы

содержание презентации «Численные методы.ppt»
СлайдТекст
1 Численные методы

Численные методы

решения задач механики сплошных сред 1. Теория упругости и идеальная среда

1

2 Лекция 4 Закон Гука

Лекция 4 Закон Гука

2007. Численные методы…Лекция 4

2007. Численные методы…Лекция 4

2

3 Цели изучения:

Цели изучения:

Установление основного закона упругих деформаций в сплошной среде под действием внешних сил и изменения температуры, а также характеризующих эти деформации свойств.

2007. Численные методы…Лекция 4

2

3

4 Содержание

Содержание

4.1 Свободная энергия деформируемого тела. 4.2. Закон Гука. 4.3. Однородная деформация тела. 4.3.1. Растяжение стержня. 4.3.2. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. 4.4. Неизотермическое деформирование. 4.4.1. Свободная энергия. 4.4.2. Тензоры напряжений и деформаций. 4.4.3. Адиабатическое деформирование. 4.4.4. Адиабатические и изотермические модули.

2007. Численные методы…Лекция 4

4

5 4.1. Свободная энергия деформируемого тела

4.1. Свободная энергия деформируемого тела

Для решения конкретных задач необходимо иметь связь между компонентами тензора деформаций ?ik и тензора напряжений ?ik . Воспользуемся термодинамическим соотношением ?ik= (?F/??ik)T (3.3.11). Свободная энергия F в силу малости деформаций (?ik<<1) не может быть представлена в виде ряда нечетных степеней по компонентам ?ik. Это связано с тем, что в этом случае прекращения действия всех внешних сил, когда ?ik?0, тело должно возвращаться в свое исходное состояние с F0, в котором и все компоненты ?ik ?0, а не некоторой величине в соответствии с (3.3.11). Свободная энергия F является скаляром, поэтому каждое слагаемое в ряду по ?ik должно быть скаляром. Но из компонент симметричного тензора ?ik можно составить только три скаляра, инвариантных при различных преобразованиях координат: ? сумма диагональных элементов ?ii - линейный инвариант, ? сумма квадратов всех элементов ?ik - квадратичный инвариант, ? определитель матрицы ?ik - кубический инвариант.

5

6 Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ

Ограничиваясь лишь квадратичными членами разложения, свободную энергию можно представить в виде: (4.1.1) Здесь величины ?, ? - некоторые коэффициенты пропорциональности, называемые коэффициентами Ламэ; Fо - свободная энергия единицы объема недеформированного тела. Как отмечалось в п.2, любую деформацию в произвольной системе координат можно представить в виде суммы деформаций чистого сдвига, происходящего без изменения объёма, и деформации всестороннего сжатия или растяжения, приводящего к изменению объёма деформируемого элемента. Поэтому и тензор деформаций ?ik можно записать в виде (4.1.2)

6

7 Модули всестороннего сжатия и сдвига

Модули всестороннего сжатия и сдвига

Сумма диагональных элементов первого тензора в (4.1.2) равна нулю, и поэтому он представляет собой тензор сдвига. Сумма же диагональных элементов второго слагаемого представляет собой тензор всестороннего сжатия или растяжения, поскольку ?ll =?V/V. С учетом (4.1.2) выражение для свободной энергии (4.1.1) удобно привести к следующему виду: После элементарных преобразований данного выражения получаем (4.1.3) Здесь коэффициенты ? и ? называют модулем всестороннего сжатия и модулем сдвига соответственно. В недеформированном состоянии свободная энергия F0 минимальна, поэтому F-F0 ? 0 при ?ik?0. Так как деформация может быть сдвигом без всестороннего сжатия (?=0) или всесторонним сжатием без сдвига (?=0), модули ? и ? - положительные величины, т.е. ? > 0 и ? > 0.

7

8 4.2. Закон Гука

4.2. Закон Гука

Дифференциал свободной энергии dF из (4.1.3) равен (4.2.1) Так как и то в соответствии с (3.3.11) из (4.2.1) следует (4.2.2) Выражение (4.2.2) устанавливает линейную связь ?ik = ?ik (?ik) при малых изотермических деформациях. Можно получить и обратную связь ?ik = ?ik (?ik ). Для этого найдём сумму диагональных элементов тензора напряжений ?ll (4.2.2), т.е. После подстановки данного соотношения в (4.2.2) и элементарных преобразований получим (4.2.3) Данное определение тензора деформаций называют законом Гука.

8

9 Изотермическая сжимаемость

Изотермическая сжимаемость

В п. 2.3 было показано, что относительное изменение объёма при деформации определяется диагональными элементами тензора деформаций. Используя закон Гука (4.2.3), получим (4.2.4) При равномерном всестороннем сжатии газов и жидкостей силами давления P = - ?ll /3 (3.1.6) относительное изменение объёма равно (4.2.5) Если деформации малы, температура среды постоянна, а давление изменяется на малую величину, т.е. P ~ ?P ? ?Р, то соотношение (4.2.5) можно записать в дифференциальной форме (4.2.6) Величину 1/к называют коэффициентом всестороннего сжатия при постоянной температуре или изотермической сжимаемостью. Так как изменение свободной энергии при деформации ?F=F-Fо согласно (4.1.3) есть однородная квадратичная функция ?ik , то, используя уравнения (4.1.3), (4.2.3) и (3.2.3), можно получить следующее соотношение для ?F: (4.2.7)

9

10 4.3. Однородная деформация 4.3.1. Растяжение стержня

4.3. Однородная деформация 4.3.1. Растяжение стержня

Деформацию тела называют однородной, если компоненты тензора напряжений постоянны по всему тела. В качестве примера рассмотрим растяжение стержня вдоль оси x2 (рис. 4.1). Один из концов стержня закреплен, а на другой действует некоторая растягивающая вдоль оси x2 сила F = F(0, F2, 0). Если S - площадь поперечного сечения стержня, то F2 = P?S , где P- нормальное к S напряжение. Но деформация стержня однородна, поэтому компоненты тензора напряжений постоянны вдоль стержня, и их можно определить из граничных условий. На боковую поверхность стержня не действуют никакие внешние силы, следовательно, на ней выполняется условие: (4.3.1)

Рис. 4.1

10

11 Единственная растягивающая сила при однородной деформации

Единственная растягивающая сила при однородной деформации

Нормальный единичный вектор n к любой площадке боковой поверхности стержня перпендикулярен к оси x2 и имеет компоненты n = n(n1, 0, n3) . Поэтому условие (4.3.1) дает следующую систему уравнений для определения компонент тензора напряжений ?ik : (4.3.2) При произвольных n1 и n3 данная система уравнений имеет решение только тогда, когда все компоненты тензора напряжений, входящие в неё, равны 0. Поэтому равны нулю как диагональные , так и недиагональные компоненты тензора напряжений. Единственной отличной от нуля компонентой ?ik на боковой поверхности стержня является компонента ?22, которую можно определить из граничных условий на торце стержня где приложена сила F2 = РS или единичная поверхностная сила , равная (4.3.3)

11

12 Модуль Юнга

Модуль Юнга

Для однородного стержня, как показано ранее, все недиагональные элементы ?ik (i?k) = 0, так и диагональные ?ik (i=k) = 0, кроме В соответствии с законом Гука (4.2.3) недиагональные элементы тензора деформаций ?ik (i?k) = 0, а диагональные ?ik (i=k) равны (4.3.4) Согласно определению (2.1.4) компоненты тензора деформаций ?11=du1/dx1 и ?33= du3/ dx3 определяют относительное сжатие стержня в поперечном направлении, а компонента ?22= du2/ dx2 – его относительное удлинение вдоль оси x2. Из (4.3.4) следует (4.3.5) Величину E называют модулем Юнга. Он имеет размерность давления и представляет собой приложенную к единице поверхности торца стержня силу растяжения P, при которой удлинение стержня равно его длине.

12

13 Коэффициент Пуассона

Коэффициент Пуассона

Отношение относительного поперечного сжатия и относительного продольного удлинения называют коэффициентом Пуассона , определяемым формулой (4.3.6) Модули всестороннего сжатия ? и сдвига ? всегда положительны, поэтому из (4.3.6) следует, что коэффициент Пуассона может изменяться в пределах , определяемых состояниями, когда тело не сопротивляется сжатию (? = 0) и не сопротивляется сдвигу (? = 0) соответственно. В природе не известны тела, у которых увеличивались бы поперечные размеры при их растяжении, и значения коэффициента Пуассона были бы отрицательными. Коэффициент Пуассона, близкий к 1/2, наблюдается у тел типа резины, у которых модуль сдвига очень мал. Для реальных тел справедливо неравенство (4.3.7)

13

14 Феноменологические коэффициенты

Феноменологические коэффициенты

Используя определения (4.1.3), (4.3.5) и (4.3.6), можно выразить модуль всестороннего сжатия ?, модуль сдвига ? и коэффициент Ламэ ? через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ? с помощью формул (4.3.8) Все предыдущие соотношения между ?ik(?ik) и ?ik(?ik) могут быть записаны с использованием только модуля Юнга Е и коэффициент Пуассона ?. Таким образом, два из любых введенных коэффициентов (?, ?), (к, ?) или (Е, ?) полностью характеризуют упругие свойства среды. В механике сплошных сред они являются феноменологическими коэффициентами, определяемыми из опыта. Необходимость введения новых модулей Юнга и Пуассона подтверждается чистотой и простотой опыта, из которого они могут быть определены. Для этого достаточно измерить лишь изменение продольных и поперечных размеров стержней при растяжении.

14

15 Изменение свободной энергии при однородной деформации

Изменение свободной энергии при однородной деформации

Относительное изменение объёма стержня при растяжении (однородная деформация) согласно (2.3.4) и (4.3.5) равно (4.3.9) Сравнение данного результата с изменением относительного объёма при всестороннем равномерном сжатии (4.2.5) показывает, что при одноосном растяжении относительное изменение объёма в три раза меньше, чем при всестороннем сжатии. Различие знаков в определениях (4.2.5) и (4.3.9) связано с противоположным направлением действия внешних сил на поверхность тела. Изменение свободной (упругой) энергии единицы объёма стержня при растяжении согласно (4.2.8), (4.2.3) и (4.3.5), а также с учетом (4.2.4) равно (4.3.10)

15

16 4.4. Неизотермическое деформирование

4.4. Неизотермическое деформирование

4.4.1. Свободная энергия

При изменении температуры от начальной Т0 элемент объёма испытывает температурную деформацию, даже если внешние силы отсутствуют. Если такие деформации малы, то можно считать их пропорциональными изменению температуры ?T=T-T0. Рассмотрим изотропное тело, характеризуемое одним коэффициентом линейного теплового расширения ?. Так как свободная энергия является скалярной величиной, то единственным выражением для дополнительного слагаемого ?FT в определении свободной энергии, связанной также и с действием внешних сил, является следующее: (4.4.1) где A - коэффициент, независящий в первом приближении от Т. В соответствии с (4.1.3) и (4.4.1) свободная энергия F(T) равна (4.4.2) Здесь F0(T0) – свободная энергия в недеформированном состоянии.

16

17 4.4.2. Тензоры напряжений и деформаций

4.4.2. Тензоры напряжений и деформаций

Дифференцируя F(T) по ?ik , как и в п.4.2, получим: (4.4.3) Коэффициент A может быть определен из условия, что при свободном однородном тепловом расширении тела (при отсутствии внешних сил) внутренние напряжения должны отсутствовать, т.е. ?ik = 0: Если данное равенство умножить скалярно на ?ik , то второе слагаемое в полученном равенстве обращается в нуль, и из него следует (4.4.4) Полный тензор напряжений , учитывающий деформацию под действием внешних сил и температуры для изотропного тела, имеет вид: (4.4.5) Повторяя вывод закона Гука для тензора деформаций, получим для ?ik (4.4.6)

17

18 4.4.3. Адиабатическое деформирование

4.4.3. Адиабатическое деформирование

Если деформирование тела происходит при T = const, то модули ? и ? в определении (4.1.3) свободной энергии F называют изотермическими . Однако деформация может совершаться и адиабатически, т.е. без притока тепла в элемент объёма извне и без передачи тепла из выделенного элемента соседним, или при его постоянной энтропии SV (например, при быстром деформировании). В этом случае коэффициенты ? и ? имеют другое, адиабатическое значение. Из равенства (3.3.10) после подстановки определения (4.4.2) для F, разложения разности энтропий до и после адиабатического деформирования в ряд по малой разности температур и не сложных преобразований следует закон Гука для адиабатического деформирования: (4.4.7) Зависимость давления от высоты Магдебурские полушария

18

19 4.4.4. Адиабатические и изотермические модули

4.4.4. Адиабатические и изотермические модули

В (4.4.7 ) ?ад называют адиабатическим модулем сжатия, который связан с изотермическим ? соотношением (4.4.8) В соответствии с (4.2.6) для изотермического и адиабатического деформирования можно записать (4.4.9) Используя правила преобразования термодинамических величин, соотношения (4.4.8) и (4.4.9), можно получить формулы, связывающие адиабатический и изотермический модули в виде: (4.4.10) Здесь ? - показатель адиабаты. Из (4.4.10) видно, что ?ад > ?. Поэтому из (4.4.9) следует, что адиабатическое относительное изменение объема меньше изотермического, т.е. Модуль сдвига, связанный в общем случае с поворотом главных осей деформаций, для изотропных тел при неизотермическом и адиабатическом деформировании одинаков, т.е. ?ад = ? .

19

20 Выводы

Выводы

Введены основные понятия, термины и основные законы, используемые в теории упругости: Коэффициенты Ламэ. Модули всестороннего сжатия и сдвига. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Изотермические и адиабатические модули. Изотермическая сжимаемость. Закон Гука для изотермического деформирования. Закон Гука для адиабатического деформирования.

2007. Численные методы…Лекция 4

20

21 Информационное обеспечение лекции

Информационное обеспечение лекции

Литература по теме: Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.. Гидродинамика. М.: Наука. 2002. 735с. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука. 1970. Т.1. 492 с.; Т.2, 568с. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: ГИТТЛ. 1950. 814 с. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. 736 с.

2007. Численные методы…Лекция 4

21

22 Справочные данные

Справочные данные

Курс лекций является частью учебно-методического комплекса «Численные методы расчета задач механики сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная среда». Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н., профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ. Учебно-методический комплекс подготовлен на кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ.

Электронный адрес: porodnov@dpt.Ustu.Ru

22

«Численные методы»
http://900igr.net/prezentacija/pedagogika/chislennye-metody-247049.html
cсылка на страницу

Метод проектов

8 презентаций о методе проектов
Урок

Педагогика

135 тем
Слайды