Проблемное обучение
<<  Применение производной и ее графика для чтения свойств функций Проблемный вопрос  >>
Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению
Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению
Цель урока:
Цель урока:
Математический диктант
Математический диктант
Классная работа
Классная работа
Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в
Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в
Убывающая
Убывающая
Теорема 1
Теорема 1
Теорема 2
Теорема 2
Правило нахождения интервалов монотонности
Правило нахождения интервалов монотонности
Пример №1
Пример №1
Пример №2
Пример №2
Точку x=x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки
Точку x=x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки
Теорема 3
Теорема 3
Теорема 4
Теорема 4
Пример №3
Пример №3
Работа на уроке:
Работа на уроке:
№ 565
№ 565
№ 566
№ 566
№ 571
№ 571
Задание на дом:
Задание на дом:

Презентация: «Применение производной к исследованию и построению графиков функций». Автор: Виталий. Файл: «Применение производной к исследованию и построению графиков функций.ppt». Размер zip-архива: 421 КБ.

Применение производной к исследованию и построению графиков функций

содержание презентации «Применение производной к исследованию и построению графиков функций.ppt»
СлайдТекст
1 Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению

Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению

графиков функций» урок математики, 1 курс

Областное государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Белгородский строительный колледж г. Белгород

Автор: Агапова Наталья Николаевна, преподаватель математики

2 Цель урока:

Цель урока:

Научиться применять таблицу производных при исследовании функций и построении графиков

3 Математический диктант

Математический диктант

Вариант 1. (Cu)’=… …=(u’v-v’u)/v? (cos x)’=… …=1/cos? x (ex)’=… Вариант 2. C’=… …=(u’v+v’u) (sin x)’=… …=-1/sin? x (xn)’=… Вариант 1. (Cu)’=Cu’ (u/v)=(u’v-v’u)/v? (cos x)’=-sin x tg x=1/cos? x (ex)’=ex Вариант 2. C’=0 (uv)’=(u’v+v’u) (sin x)’=cos x ctg x=-1/sin? x (xn)’=n*xn-1

4 Классная работа

Классная работа

Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции (промежутков возрастания и убывания). Такой анализ легко сделать с помощью производной.

5 Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в

Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в

точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

6 Убывающая

Убывающая

Убывающая

Убывающая

Возрастающая

Возрастающая

Возрастающая и убывающая на интервалах

Возрастающая и убывающая на интервалах

Возрастающая и убывающая на интервалах

7 Теорема 1

Теорема 1

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

8 Теорема 2

Теорема 2

Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

9 Правило нахождения интервалов монотонности

Правило нахождения интервалов монотонности

Находим область определения функции f(x). Вычисляем производную f’(x) данной функции. Находим точки, в которых f’(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x). Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности. Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если f’(x)›0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f’(x)‹0, то на таком интервале функция f(x) убывает.

10 Пример №1

Пример №1

Найти промежутки монотонности функции y=2x?-3x?-36x+5

Область определения: R. Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=6x?-6x-36. Находим критические точки: y’=0. x?-x-6=0 Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 Делим область определения на интервалы: Функция возрастает при x?(-?;-2]?[3;+?), функция убывает при x?[-2;3].

11 Пример №2

Пример №2

Найти промежутки монотонности функции y=x?-3x?

Область определения: R. Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=3x?-6x. Находим критические точки: y’=0. x?-2x=0 x(x-2)=0 x1=0 и x2=2 Делим область определения на интервалы: Функция возрастает при x?(-?;0]?[2;+?), функция убывает при x?[0;2].

12 Точку x=x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки

Точку x=x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки

существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)?f(x0). Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)?f(x0).

13 Теорема 3

Теорема 3

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции или равна нулю, или не существует.

14 Теорема 4

Теорема 4

Если производная f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак, то точка x0 является точкой экстремума функции f(x). Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума

15 Пример №3

Пример №3

Найти экстремумы функции y=-2x?-3x?+12x-4

Область определения: R. Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=-6x?-6x+12. Находим критические точки: y’=0. -x?-x+2=0 Д=1-4*(-1)*2=1+8=9 x1=1; x2=-2 Делим область определения на интервалы: x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: ymax=3.

16 Работа на уроке:

Работа на уроке:

№ 564. Исследовать на экстремум функцию y=x2+2.

Решение:

Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x2+2)’=2x. Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=2.

17 № 565

№ 565

Исследовать на экстремум функцию y=1/3x3-2x2+3x+1.

Решение:

Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(1/3x3-2x2+3x+1)’=x2-4x+3. Приравниваем её к нулю: x2-4x+3=0, откуда x1=1, x2=3 – критические точки. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции ymax=7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=1.

18 № 566

№ 566

Исследовать на экстремум функцию y=x3+3x2+9x-6.

Решение:

Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x3+3x2+9x-6)’=3x2+6x+9. Приравниваем её к нулю: 3x2+6x+9=0, откуда D<0. То есть критических точек не существует. Однако, функция возрастает на всей D(y), так как y’=3x2+6x+9 >0:

19 № 571

№ 571

Исследовать на экстремум функцию y=x2-x-6.

Решение:

Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x2-x-6)’=2x-1. Приравниваем её к нулю: 2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=-6,25.

20 Задание на дом:

Задание на дом:

Учебник Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л.: № 572, 573, 575, 576 – стр. 253; Выучить достаточные и необходимые условия монотонности и существования экстремумов функции.

«Применение производной к исследованию и построению графиков функций»
http://900igr.net/prezentacija/pedagogika/primenenie-proizvodnoj-k-issledovaniju-i-postroeniju-grafikov-funktsij-148517.html
cсылка на страницу
Урок

Педагогика

135 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по педагогике > Проблемное обучение > Применение производной к исследованию и построению графиков функций