Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

ВНИМАНИЕ

При использовании наших материалов помните о соблюдении авторских прав!

Объект исследования:

Предмет исследования:

Цель работы:

Решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля

Способы решения уравнений

Ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с модулем, рекомендациями к решению, алгоритмирование процесса решения уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

Методы исследования:

Работа с литературными источниками. 2) Математическое моделирование постановки задачи для построения графического образа линий, входящих в данное уравнение. 3) Эксперимент: исследование различных подходов и методов решения уравнений; исследование изменения вида кривой, в зависимости от параметров входящих в её уравнение .

Содержание работы

ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. Решение уравнений. 1.1.Определение модуля. Решение по определению 1.2. Решение уравнений по правилам 1.3. Задачи с несколькими модулями. Последовательное и параллельное раскрытие модулей 1.4. Метод интервалов в задачах с модулями 1.5. Вложенные модули 1.6. Модули и квадраты 1.7. Модули неотрицательных выражений ГЛАВА 2. Функционально-графический способ решения задач. 2.1. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины 2.2. Построение графиков уравнений, содержащих знак модуля 2.3. Графическое решение уравнений, содержащих знак модуля 2.4. Графическое решение задач с параметром и модулем ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ. Исследование вида графического образа заданного неравенством , в зависимости от параметров a и b

1.1.Определение модуля

Решение по определению.

По определению, модуль, или абсолютная величина, неотрицательного числа a совпадает с самим числом, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть – a:

Запишем решение простейших уравнений в общем виде:

Пример. Решить уравнение |x –3| = 3 – 2x. Рассматриваем два случая. При x – 3> 0 уравнение принимает вид x – 3 = 3 – 2x, откуда x = 2. Но это значение не удовлетворяет неравенству x – 3 > 0, потому не входит в ответ исходного уравнения. При x – 3 < 0 получаем 3 – x = 3 – 2x и x = 0. Этот корень удовлетворяет соответствующему условию x – 3 < 0. Итак, ответ к исходному уравнению: x = 0. Ответ: х = 0.

1.2. Решение уравнений по правилам

1-е правило: |f(x)| = g(x) ?

2-е правило: |f(x)| = g(x) ?

ЗАМЕЧАНИЕ. Фигурные скобки обозначают системы, а квадратные – совокупности. Решения системы уравнений – это значения переменной, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям системы. Решениями совокупности уравнений являются все значения переменной, каждое из которых есть корень хотя бы одного из уравнений совокупности.

Ответ:

Пример . Решить уравнение |x2 – x – 6| = |2x2 + x – 1|. Решение. Мы уже знаем, что рассматривать (целых 4) варианта распределения знаков выражений под модулями здесь не нужно: это уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений без каких-либо дополнительных неравенств: Которая равносильна: Первое уравнение совокупности решений не имеет (его дискриминант отрицателен), второе уравнение имеет два корня .

Третий способ освобождения от модуля – замена переменной

Пример . Решить уравнение: Решение. Заметим, что , тогда уравнение примет вид: Пусть , тогда решим квадратное уравнение: Его корни , условию удовлетворяет первый корень. Возвращаясь к переменной х, получаем уравнение решая которое находим: Ответ: .

Задачи с несколькими модулями

Два основных подхода к решению.

«Последовательное» раскрытие модулей

«Параллельное» раскрытие модулей

Сначала один из модулей изолируется в одной части уравнения (или неравенства) и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей.

Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений. При снятии модуля может получить один из двух знаков – плюс или минус. Эти области определяются знаками выражений под модулями.

1способ

Решение. Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом, то есть просто определением абсолютной величины:

К полученным двум уравнениям применяем второй способ освобождения от модуля:

Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам :

2способ

Решение. Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений под модулями.

Лишь первый и третий из этих корней удовлетворяют соответствующим неравенствам, а значит, и исходному уравнению.

Метод интервалов в задачах с модулями

В частности, если все выражения под модулями рациональны, то достаточно отметить на оси их корни, а также точки, где они не определены, то есть корни их знаменателей. Отмеченные точки и задают искомые промежутки знакопостоянства.

Пусть имеется уравнение, в которое входят три модуля от линейных выражений; например: |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.

Первый модуль равен x – a при x ? a и a – x при x < a. Второй равен x – b или b – x при x ? b и x < b соответственно. Аналогично раскрывается и третий модуль. Нарисуем эти области и возьмем их пересечения.

Решение

Найдем нули функции x+2=0 или x+3=0 , откуда x=-2 , x=-3. Рассмотрим 3 возможных набора знаков выражений под модулями.

Решаем задачу на каждом интервале:

Итак, данное уравнение не имеет решений.

.

Вложенные модули

Решение. Освободимся от внешнего модуля, получим:

Последовательное раскрытие модулей наиболее эффективно в "задачах-матрешках", где внутри одного модуля находится другой, а то и несколько.

Модули и квадраты

Он основан на двух очевидных соображениях. Во-первых, из двух неотрицательных чисел то больше, квадрат которого больше, а если квадраты равны, то и числа равны: a > b ? a2 > b2; a = b ? a2 = b2. Во-вторых, квадрат модуля числа равен квадрату самого числа: |a|2 = a2. Поэтому допускается такое равносильное преобразование:

Модули неотрицательных выражений

Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаком второго, третьего и т.д. модулей положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим

Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины

Решить уравнение : 3| x + 2 | + x 2 + 6x + 2 = 0.

Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины

Решить равнение: | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 3.

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций

Парабола пересеклась с «уголком» в точках с координатами (1; 0), (2; 1) и (4; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек:

Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины

Решить графически уравнение

А = -1

Найти все значения а, при которых уравнение

Имеет ровно три корня?

Данное уравнение равносильно совокупности

Выражая параметр а, получаем:

График этой совокупности – объединение уголка и параболы.

Прямая

Пересекает полученное объединение в трех точках.

Ответ:

А

Х

1

1

-2

-1

2

3

4

5

-1

Заключение

В процессе работы над темой «Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля» мы: Изучили литературу по данному вопросу. Познакомились с алгебраическим и графическим подходом к решению уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Исследовали количество решений уравнения, в зависимости от параметров входящих в её условие. и пришли к выводу: В ряде случаев при решении уравнений с модулем, возможно, решать уравнения по правилам, а иногда удобнее воспользоваться геометрический способ решения, который, к сожалению, не всегда применим, из-за сложности изображения линий входящих в условие задачи. При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым.