№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля |
2 |
 |
ВНИМАНИЕПри использовании наших материалов помните о соблюдении авторских прав! |
3 |
 |
Объект исследования:Предмет исследования: Цель работы: Решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля Способы решения уравнений Ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с модулем, рекомендациями к решению, алгоритмирование процесса решения уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля |
4 |
 |
Методы исследования:Работа с литературными источниками. 2) Математическое моделирование постановки задачи для построения графического образа линий, входящих в данное уравнение. 3) Эксперимент: исследование различных подходов и методов решения уравнений; исследование изменения вида кривой, в зависимости от параметров входящих в её уравнение . |
5 |
 |
Содержание работыВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. Решение уравнений. 1.1.Определение модуля. Решение по определению 1.2. Решение уравнений по правилам 1.3. Задачи с несколькими модулями. Последовательное и параллельное раскрытие модулей 1.4. Метод интервалов в задачах с модулями 1.5. Вложенные модули 1.6. Модули и квадраты 1.7. Модули неотрицательных выражений ГЛАВА 2. Функционально-графический способ решения задач. 2.1. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины 2.2. Построение графиков уравнений, содержащих знак модуля 2.3. Графическое решение уравнений, содержащих знак модуля 2.4. Графическое решение задач с параметром и модулем ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ. Исследование вида графического образа заданного неравенством , в зависимости от параметров a и b |
6 |
 |
1.1.Определение модуляРешение по определению. По определению, модуль, или абсолютная величина, неотрицательного числа a совпадает с самим числом, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть – a: Запишем решение простейших уравнений в общем виде: Пример. Решить уравнение |x –3| = 3 – 2x. Рассматриваем два случая. При x – 3> 0 уравнение принимает вид x – 3 = 3 – 2x, откуда x = 2. Но это значение не удовлетворяет неравенству x – 3 > 0, потому не входит в ответ исходного уравнения. При x – 3 < 0 получаем 3 – x = 3 – 2x и x = 0. Этот корень удовлетворяет соответствующему условию x – 3 < 0. Итак, ответ к исходному уравнению: x = 0. Ответ: х = 0. |
7 |
 |
1.2. Решение уравнений по правилам1-е правило: |f(x)| = g(x) ? 2-е правило: |f(x)| = g(x) ? ЗАМЕЧАНИЕ. Фигурные скобки обозначают системы, а квадратные – совокупности. Решения системы уравнений – это значения переменной, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям системы. Решениями совокупности уравнений являются все значения переменной, каждое из которых есть корень хотя бы одного из уравнений совокупности. |
8 |
 |
Ответ:Пример . Решить уравнение |x2 – x – 6| = |2x2 + x – 1|. Решение. Мы уже знаем, что рассматривать (целых 4) варианта распределения знаков выражений под модулями здесь не нужно: это уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений без каких-либо дополнительных неравенств: Которая равносильна: Первое уравнение совокупности решений не имеет (его дискриминант отрицателен), второе уравнение имеет два корня . |
9 |
 |
Третий способ освобождения от модуля – замена переменнойПример . Решить уравнение: Решение. Заметим, что , тогда уравнение примет вид: Пусть , тогда решим квадратное уравнение: Его корни , условию удовлетворяет первый корень. Возвращаясь к переменной х, получаем уравнение решая которое находим: Ответ: . |
10 |
 |
Задачи с несколькими модулямиДва основных подхода к решению. «Последовательное» раскрытие модулей «Параллельное» раскрытие модулей Сначала один из модулей изолируется в одной части уравнения (или неравенства) и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей. Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений. При снятии модуля может получить один из двух знаков – плюс или минус. Эти области определяются знаками выражений под модулями. |
11 |
 |
1способРешение. Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом, то есть просто определением абсолютной величины: К полученным двум уравнениям применяем второй способ освобождения от модуля: Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам : |
12 |
 |
2способРешение. Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений под модулями. Лишь первый и третий из этих корней удовлетворяют соответствующим неравенствам, а значит, и исходному уравнению. |
13 |
 |
Метод интервалов в задачах с модулямиВ частности, если все выражения под модулями рациональны, то достаточно отметить на оси их корни, а также точки, где они не определены, то есть корни их знаменателей. Отмеченные точки и задают искомые промежутки знакопостоянства. Пусть имеется уравнение, в которое входят три модуля от линейных выражений; например: |x – a| + |x – b| + |x – c| = m. Первый модуль равен x – a при x ? a и a – x при x < a. Второй равен x – b или b – x при x ? b и x < b соответственно. Аналогично раскрывается и третий модуль. Нарисуем эти области и возьмем их пересечения. |
14 |
 |
РешениеНайдем нули функции x+2=0 или x+3=0 , откуда x=-2 , x=-3. Рассмотрим 3 возможных набора знаков выражений под модулями. Решаем задачу на каждом интервале: Итак, данное уравнение не имеет решений. . |
15 |
 |
Вложенные модулиРешение. Освободимся от внешнего модуля, получим: Последовательное раскрытие модулей наиболее эффективно в "задачах-матрешках", где внутри одного модуля находится другой, а то и несколько. |
16 |
 |
Модули и квадратыОн основан на двух очевидных соображениях. Во-первых, из двух неотрицательных чисел то больше, квадрат которого больше, а если квадраты равны, то и числа равны: a > b ? a2 > b2; a = b ? a2 = b2. Во-вторых, квадрат модуля числа равен квадрату самого числа: |a|2 = a2. Поэтому допускается такое равносильное преобразование: |
17 |
 |
Модули неотрицательных выраженийРешение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаком второго, третьего и т.д. модулей положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим |
18 |
 |
Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величиныРешить уравнение : 3| x + 2 | + x 2 + 6x + 2 = 0. |
19 |
 |
Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величиныРешить равнение: | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 3. Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций Парабола пересеклась с «уголком» в точках с координатами (1; 0), (2; 1) и (4; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек: |
20 |
 |
Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величиныРешить графически уравнение |
21 |
 |
А = -1Найти все значения а, при которых уравнение Имеет ровно три корня? Данное уравнение равносильно совокупности Выражая параметр а, получаем: График этой совокупности – объединение уголка и параболы. Прямая Пересекает полученное объединение в трех точках. Ответ: А Х 1 1 -2 -1 2 3 4 5 -1 |
22 |
 |
ЗаключениеВ процессе работы над темой «Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля» мы: Изучили литературу по данному вопросу. Познакомились с алгебраическим и графическим подходом к решению уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Исследовали количество решений уравнения, в зависимости от параметров входящих в её условие. и пришли к выводу: В ряде случаев при решении уравнений с модулем, возможно, решать уравнения по правилам, а иногда удобнее воспользоваться геометрический способ решения, который, к сожалению, не всегда применим, из-за сложности изображения линий входящих в условие задачи. При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым. |
«Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля» |
http://900igr.net/prezentacija/russkij-jazyk/reshenie-uravnenij-soderzhaschikh-neizvestnuju-pod-znakom-modulja-225049.html