Алгебра квадратные уравнения

Решение квадратных уравнений по формуле

Презентацию подготовил Ученик 8 класса МОУ «СОШ №1 г.Ртищево» Клён Александр Николаевич Руководитель: учитель алгебры Бакиева Галина Александровна 2009 год

Цели:

Образовательная –

Закрепить навыки решения квадратных уравнений и заданий, связанных с ними, различными способами.

Развивающая -

Развивать логическое мышление, способность мыс- лить, решать учебные задачи и работать с дополни- тельной литературой.

Воспитательная -

Прививать интерес к предмету, формировать комму- никативные и волевые качества, воспитывать твор- ческую личность.

Основополагающий вопрос: Как решать квадратные уравнения

Вопросы учебной темы: Как решать неполные квадратные уравнения? Как определять количество корней квадратного уравнения? Как решать приведенные квадратные уравнения по теореме Виета?

Учебные предметы: Алгебра

Участники проекта: 8 класс

Информационные ресурсы: Интернет, печатные издания, мультимедийные приложения.

Настроимся на урок

Раз, два, три, четыре, пять начинаем мы считать… бегать, прыгать.Мы не будем будем весь урок решать

Способы решения квадратных уравнений

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители: х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.

2. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле

Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с = 0, а ? 0 на 4а и последовательно имеем: 4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0, (2ax + b)2 = b2 - 4ac, 2ax + b = ± ? b2 - 4ac, 2ax = - b ± ? b2 - 4ac,

О теореме Виета

«Если В + D, умноженное на А - А2, равно ВD, то А равно В и равно D». На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место (а + b)х - х2 = ab, т.е. х2 - (а + b)х + аb = 0, то х1 = а, х2 = b.

3. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x1 x2 = q, x1 + x2 = - p а) x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0; x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0. б) x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0; x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

4. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения

А. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ? 0. 1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ? 0, получим приведенное квадратное уравнение x2 + b/a • x + c/a = 0. Согласно теореме Виета x1 + x2 = - b/a, x1x2 = 1• c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом, x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a, x1x2 = - 1• ( - c/a), т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

В. Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

5. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравнении х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

• Пример Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 (рис

2). Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4. Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Ответ: х1 = - 1; х2 = 4.

Работа по группам

Математика и физика

Группа 2 Решите уравнения рациональным способом а) -5х?+4х=0 б) 7х?-49=0 в) 7х+2х?=-3 г) 5х?+2х=3 д)3х?+2=5х

Группа 1 Решите уравнения рациональным способом а) х?+15х=0 б) 5х?-25=0 в) -9х+5х?=2 г) 2х?+4х=6 д)2х?-9=7х

Код ответа

Ответы

Группа 1 ЭЙЛЕР математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую АН и переехал в 1727 в Россию. Автор св. 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, кораблестроению, теории музыки Группа 2 БИНОМ НЬЮТОНА БИНОМ, формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 являются формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых x и y.

Физкультурная пауза

Сесть на краешек стула. Поднять руки, потянуться, напрячь мышцы. Вытянуть руки перед грудью, потянуться. Руки в стороны, потянуться, напрячь мышцы. Обхватить себя руками, выгнуть спину. Принять рабочее положение.

Решения уравнений

Х?+3х-5=0 2х?+3х+1=0 5х?-8х+3=0

Задание «Кувшин»

«КОД») (x1,x2 или (x2,x1)- координаты точек координатной плоскости. Меньшее значение корня обозначить x1,большее обзначить x2 (x2 > x1; x1<x2)

1) x2-11x+18=0; (x1,x2); 2) x2-4x+4=0; (x1,x2); 3) 2x2-10x=0; (x2,x1); 4) x2+5x-14=0; (x2,x1); 5) x2+9x+14=0; (x2,x1); 6) 3x2+15=0; (x1,x2); 7) 3x2-12=0; (x1,x2); 8) 2x2-14x-36=0; (x1,x2)

Взаимопроверка

Домашнее задание

Творческое задание (по желанию) изготовить дидактический материал по теме: “Решения квадратных уравнений”.

Мы будем учиться, работать с охотой и ничего не попросим взамен как

хорошо, что есть на свете две дружные команды: учащихся и учителей!

Спасибо за урок

!!

Литература:

Энциклопедия для детей т.11. математика Учебник алгебры за 8 класс. А.Г.Мордкович Задачник алгебры за 8 класс. А.Г.Мордкович