Числовые неравенства

Неравенства

Неравенства

Познакомившись с действительными числами, узнав об их свойствах, мы научились проводить различные арифметические операции над ними, такие как алгебраические преобразования выражений или решение уравнений. Настало время неравенств.

Неравенства

Свойства числовых неравенств

Решение линейных неравенств

Конец

Сначала

Свойства числовых неравенств

Недавно мы ввели понятие числового неравенства: a<b – это значит, что a-b - положительное число; a<b – это значит, что a-b – отрицательное число.

Числовые неравенства обладают рядом свойств, знание которых поможет нам в дальнейшем работать с неравенствами.

Для чего нужно

Для чего нужно уметь решать уравнения, вы знаете: до сих пор математическая модель практически любой реальной ситуации, которую мы рассматривали, представляла собой либо уравнение, либо систему уравнений. На самом деле встречаются и другие математические модели — неравенства, просто мы пока таких ситуаций избегали.

Для чего нужно

Знание свойств числовых неравенств будет полезно и для исследования функций. Например, с неравенствами связаны такие известные вам свойства функций, как наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке, ограниченность функции снизу или сверху. С неравенствами связано и свойство возрастания или убывания функции, о котором пойдет речь в одном из следующих параграфов. Так что, как видите, без знания свойств числовых неравенств нам не обойтись. Да мы сами уже могли убедиться в необходимости умения работать с неравенствами.

Свойство 1

Если a>b и b>c , то a>c.

Доказательство:

По условию, a>b, т.е. а -b — положительное число. Аналогично, так как b>с, делаем вывод, что b-с — положительное число.

Сложив положительные числа а-Ь и Ь-с, получим положительное число. Имеем (а-Ь) +(Ь-с)=а-с. Значит, а-с — положительное число, т.е. а>с, что и требовалось доказать.

Свойство 1

Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т.е. числовую прямую. Неравенство а>Ь означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство Ь>с — что точка b расположена правее точки с . Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т. е. а > с.

a

b

c

X

Свойство 2

Если a>b, то a+c>b+c .

То есть, если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же действительное число, то знак уравнения не меняется.

Свойство 3

Если a>b и m>0, то am>bm;

Если a>b и m<0, то am<bm.

Смысл свойства 3 заключается в следующем: если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (<на>,>на<).

Свойство 3

Если a>b и m>0, то am>bm;

Если a>b и m<0, то am<bm.

То же относится к делению обеих частей неравенства на одно и то же положительное или отрицательное число m, то поскольку деление на m всегда можно заменить умножением на 1/m .

Свойство 3

Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства a>b на -1, получим -а<-b. Это значит, что если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства: если а>b, то -а<-b.

Свойство 4

Если a>b и c>d, то a+c>b+d.

Так как a>b, то, согласно свойству 2, a+c>b+c. Аналогично, так как c>d, то b+c>b+d. Итак, a+c>b+c, b+c>b+d.Тогда, в силу свойства 1, получаем, что a+c>b+d.

Доказательство:

Свойство 5

Если a, b, c, d – положительные числа, и a>c, c>d,то ac>bd.

Доказательство: Так как а>Ь и с>0, то ас> Ьс. Аналогично, так как c>b и Ь>0, то cb>ab. Итак, ac>bc, bc>bd. Тогда, согласно свойству 1, получаем, что ac>bd.

Свойство 6

Если а и Ь — неотрицательные числа и а>b, то а в степени n > b в степени n, где n — любое натуральное число.

Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

Смысл неравенства

Оглавление

Обычно неравенства вида а>b, с>d (или а<b, с<d) называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства а>Ь и с>d – неравенствами противоположного смысла. Свойство 5 означает, что при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получится неравенство того же смысла.

Решение неравенства с переменной

Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т.е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.

Пример

Рассмотрим, например, неравенство: 2х+5<7. Подставив вместо х значение 0, получим 5<7 - верное неравенство; значит, х=0 — решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 1, получим 7<7 - неверное неравенство; поэтому х=1 не является решением данного неравенства. Подставив вместо х значение -3, получим -6+5<7, т. е. -1<7 - верное неравенство; следовательно, х=-1 - решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 2,5, получим 2*2,5+5<7, т.е. 10<7 - неверное неравенство. Значит, х=2,5 не является решением неравенства.

Пример

Но вы же понимаете, что это — тупиковый путь: ни один математик не станет так решать неравенство, ведь все числа невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств, рассуждая следующим образом.

Пример

Нас интересуют такие числа х, при которых 2х+5<1 - верное числовое неравенство. Но тогда и 2x+5-5<7-5 - верное неравенство (согласно свойству 2: к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число - 5). Получили более простое неравенство 2x<2. Разделив обе его части на положительное число 2, получим (на основании свойства 3) верное неравенство х<1.

Пример

Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Эти числа заполняют открытый луч (-?,1). Обычно говорят, что этот луч — решение неравенства 2х+5<7 (точнее было бы говорить о множестве решений, но математики, как всегда, экономны в словах). Таким образом, можно использовать два варианта записи решений данного неравенства: х<1 или (-?,1).

Решение неравенств

Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

Правило 1

Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.

Правило 2

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

Правило 3

Оглавление

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.