№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Теорема Франсуа Виет и его теорема как инструмент для решения уравнений. |
2 |
 |
Математическое учение Человек живет,пока думает . Решайте задачи и живите долго! Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. (Н.И. Лобачевский) |
3 |
 |
Франсуа Виет(1540-1603) В 2010 году исполнилось 470 лет со дня рождения замечательного французского математика, положившего начало алгебре как науке о преобразовании выражений, создателя буквенного исчисления, Франсуа Виета. |
4 |
 |
АктуальностьУравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня. |
5 |
 |
Изучить материал о великом учёном Цель: изучить материал о великом учёном, французском математике – Франсуа Виете, рассмотреть квадратные уравнения частного порядка, научиться использовать теорему Виета как инструмент для решения уравнений и задач, связанных с корнями и коэффициентами уравнения n-ой степени. |
6 |
 |
Выяснить из различных источников кто такой Франсуа Виет Задачи: выяснить из различных источников кто такой Франсуа Виет, его вклад в математику; узнать историю его жизни; повторить понятие квадратного уравнения, узнать об уравнениях частного порядка и их решении рациональным способом; узнать какие уравнения называются уравнениями высших степеней; рассмотреть теорему Виета как инструмент для решения уравнений и других задач. |
7 |
 |
Крупнейший французский математик 16 века Кто Вы, господин Виет? Франсуа Виет – крупнейший французский математик 16 века Родился в 1540 году во Франции в городе Фонтене-ле-Конт. По образованию юрист. Но все свое свободное время он отдавал занятиям математикой, а также астрономией. Особенно увлеченно он начал работать в области математики с 1584г. Виет детально изучил труды, как древних, так и современных ему математиков. Разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения. Ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях. |
8 |
 |
Математические открытияГлавные открытия Ф. Виета изложены в знаменитом «Введении в аналитическое искусство», опубликованном в 1591 году. Основной замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Франсуа называл алгебру аналитическим искусством. Он писал в письме к де Партене: «Все математики знали, что под алгеброй скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти…» |
9 |
 |
Интересные фактыиз жизни и деятельности ученого. Франсуа Виет, вычисляя периметры вписанного и описанного 322 216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков. Впервые обозначать десятичные дроби с помощью запятой предложил Франсуа Виет. До него изображение дробей было весьма сложным. Так, например, дробь 0,3469 писалась так: 3(1)4(2)6(3)9(4). Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым он внедрил в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т.е. ввести понятие математической формулы. Ученый мог работать по трое суток без сна! |
10 |
 |
Теорему Виета можно обобщить на многочлены любой степениНепосредственно применение трудов Виета очень затруднялось тяжелым и громоздким изложением. Из-за этого они полностью не изданы до сих пор. Г.Г. Цейтен отмечал, что чтение работ Виета затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, и большим количеством изобретенных им и совершенно не привившихся греческих терминов. Потому влияние его, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось сравнительно медленно. Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. |
11 |
 |
Квадратные уравненияКвадратным уравнением называют уравнения вида ax?+bx+c = 0, где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причём a ? 0. Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1. Пример: x2 + 2x + 6 = 0. Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1. Пример: 2x2 + 8x + 3 = 0. Полное квадратное уравнение - квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля. |
12 |
 |
Теорема ВиетаОчень любопытное свойство корней квадратного уравнения обнаружил французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета: Чтобы числа x1 и x2 являлись корнями уравнения: ax? + bx + c = 0 необходимо и достаточно выполнения равенства x1 + x2 = -b/a и x1x2 = c/a Пример. х?-4х-12=0 х1=-2 х2=6. |
13 |
 |
О свойствах корней теорема Виета По праву в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни и дробь уж готова: В числителе С, в знаменателе А, А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь эта, что за беда- В числителе B, в знаменателе A. И. Дырченко. |
14 |
 |
Квадратные уравнения частного характера1) Если a + b + c = 0 в уравнении ax? + bx + c = 0, то х1=1, а х2 = 2)Если a - b + c = 0, в уравнении ax? + bx + c= 0, то: х1=-1, а х2 =- 3) Метод “переброски” Корни квадратных уравнений y? + by + аc = 0 и ax? + bx + c = 0 связанны соотношениями: х1 = и х2 =. |
15 |
 |
Дискриминант Пример. 418х? - 1254х + 836 = 0 Этот пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу его с легкостью можно решить. a = 418, b = -1254, c = 836. х1 = 1, х2 = 2 |
16 |
 |
Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней. Пусть многочлен P(x) = a0xn + a1xn-1 + … +an имеет n различных корней x1 , x2 …, xn. В этом случае он имеет разложение на множители вида: a0xn + a1xn-1 +…+ an = a0( x – x1)( x – x2)*…*(x – xn) Разделим обе части этого равенства на a0 ? 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство: xn + ( )xn-1 + … + ( ) = xn – (x1 + x2 + … + xn) xn-1 + ( x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn)xn-2 + … +(-1)n x1x2 … xn. |
17 |
 |
Два многочлена тождественно равны Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство x1 + x2 + … + xn = - x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn = x1x2 … xn = (-1)n Например, для многочленов третей степени a0x? + a1x? + a2x + a3 имеем тождества x1 + x2 + x3 = - x1x2 + x1x3 + x2x3 = x1x2x3 = -. |
18 |
 |
Коэффициент многочлена Если старший коэффициент многочлена , то для применения формул Виета нужно разделить все коэффициенты на . В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен. |
19 |
 |
Кубическое уравнение Напишем приведённое кубическое уравнение , корни которого обратны корням уравнения Решение: 1) Пусть - корни уравнения 2) Т.к. , то по формулам Виета. Обратные корни |
20 |
 |
Корни уравнения 3) Пусть - корни уравнения 4) Тогда , , 5) Т.к. , то по формулам Виета 6) Следовательно искомое уравнение имеет вид: , или . |
21 |
 |
Формулы Виета Покажем, что формулы Виета позволяют рационально решать уравнения 2-й и 3-й степеней. Проведём эксперимент для уравнения 2-й степени. В это опыте я сравнила время, потраченное на решение уравнения x?+3x+2=0 через дискриминант, и время на решение этого же уравнения с помощью теоремы Виета. В результате получилось, что в первом случае ученик тратит 35 секунд, а во втором- 15! Вывод: С формулами Виета можно сэкономить время! |
22 |
 |
Эксперимент Проведём эксперимент для уравнения 3-й степени. Дано уравнение: Ищем корень среди чисел: Подбором находим один из корней уравнения, - . Следовательно, делится на . |
23 |
 |
Или по формулам ВиетаОтвет: |
24 |
 |
Корни уравнения равны Теперь решим то же уравнение с помощью формул Виета. По формулам Виета: Следовательно, корни уравнения равны Вывод: формулы Виета позволяют рационально решить это уравнение. |
25 |
 |
Обратные корни При решении уравнений было замечено, что уравнения и имеют взаимно обратные корни. |
26 |
 |
ГипотезаКорни уравнений и , где , взаимно обратные. |
27 |
 |
ДоказательствоПо формулам Виета из первого уравнения: Рассмотрим числа и |
28 |
 |
Числа являются корнями уравнения Значит, эти числа являются корнями уравнения что равносильно уравнению . |
29 |
 |
Преподаватели 9Б класс. 10 класс 11 класс Преподаватели Кол-во чел. опрошенных Кол-во чел. знающих квадратные уравнения Кол-во чел. умеющих решать их с помощью т.Виета Кол-во чел. знающих уравнения высших степеней Кол-во чел. умеющих решать уравнения высших степеней с помощью т. Виета 25 25 12 18 8 14 14 14 2 2 14 14 14 2 0 4 3 3 3 2 |
30 |
 |
Спасибо за внимание |
«Франсуа Виет и его теорема» |
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Fransua-Viet-i-ego-teorema/Fransua-Viet-i-ego-teorema.html