Функция y=cos x

Функция y = cos x

Ее свойства и график

Наумова Ирина Михайловна

1

Построение графика функции y = cos x

Сегодня мы рассмотрим.

Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента; Изменение свойств функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента; Примеры построения графиков функций путем анализа изменения их свойств.

Наумова Ирина Михайловна

2

Построение графика

Функция y = cos x определена на всей числовой прямой и множеством ее значений является отрезок ?-1; 1?. Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми у = -1 и у = 1.

Наумова Ирина Михайловна

3

Как использовать периодичность и четность при построении

Функция y = cos x является четной. Поэтому ее график симметричен относительно оси OY. Для построения графика на отрезке -? ? х ? ? достаточно построить его для 0 ? х ? ?, а затем симметрично отразить относительно оси OY.

Так как функция периодическая с периодом 2?, то достаточно построить ее график на каком – нибудь промежутке длиной 2?, например на отрезке -? ? х ? ?; тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2?n, n?Z, график будет таким – же.

Наумова Ирина Михайловна

4

Найдем несколько точек для построения графика

x.

0

?/6

?/4

?/3

?/2

2?/3

3?/4

5?/6

?

y=cos x

1

?3/2

?2/2

?

0

-?

-?2/2

-?3/2

-1

Найдем несколько точек для построения графика на отрезке ?0; ?? и отразим, полученную часть графика симметрично относительно оси OY.

Наумова Ирина Михайловна

5

Распространим полученный график на всей числовой прямой

с помощью сдвигов на 2?, 4? и т.д. вправо, на -2?, -4? и т.д. влево, т.е. вообще на 2?n, n?Z.

Наумова Ирина Михайловна

6

График функции

Итак, график функции y = cos x построен геометрически на всей числовой прямой, начиная с построения его части на отрезке ?0; ??. Поэтому свойства функции y = cos x можно получить , опираясь на свойства этой функции на отрезке ?0; ??. Например, функция y = cos x возрастает на отрезке ?-?; 0?, так как она убывает на отрезке ?0; ?? и является четной. Перечислим основные свойства функции y = cos x.

Наумова Ирина Михайловна

7

Как найти область определения

Для этого нужно вспомнить.

Как найти область определения и множество значений тригонометрических функций; Какие функции называются периодическими и как найти период функции; Какие функции называются четными (нечетными); Когда функция возрастает (убывает); Как найти нули функции; Как определить на каких промежутках функция принимает положительные (отрицательные) значения; Как определить когда функция принимает наибольшее (наименьшее) значения.

Наумова Ирина Михайловна

8

Область определения

Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки ?1; 0? на угол х радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Тем самым каждому действительному числу х поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cos x. Таким образом, областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Наумова Ирина Михайловна

9

Множество значений

Чтобы найти множество значений функции y = cos x, нужно выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях х, т.е. установить, для каких значений у есть такие значения х, при которых cos x = y. Известно, что уравнение cos x = a имеет корни, если |a| ? 1, и не имеет корней, если |a| > 1. Следовательно множеством значений функции y = cos x является отрезок –1 ? у ? 1.

Наумова Ирина Михайловна

10

Периодичность

Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое число Т ? 0, что для любого х из ее области определения выполняется равенство f (x – T) = f (x) = f (x + T). Число Т называется периодом функции. Известно, что для любого значения х верны равенства sin(x + 2?)=sin x, cos(x + 2?)= cos x. Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2?. Такие функции называются периодическими с периодом 2?.

Наумова Ирина Михайловна

11

Четность, нечетность

Функция y = f (x) называется четной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) = f (x), график симметричен относительно оси ординат. Функция y = f (x) называется нечетной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) = -f (x), график симметричен относительно начала координат.

Наумова Ирина Михайловна

12

Возрастание, убывание

Функция y = f(x) называется возрастающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наибольшее (наименьшее) значение аргумента. Т.е. если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 > x2 (x1 < x2). Функция y = f(x) называется убывающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наименьшее (наибольшее) значение аргумента. Т.е. если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 < x2 (x1 > x2).

Наумова Ирина Михайловна

13

Нули функции, положительные и отрицательные значения

наименьшее и наибольшее значения.

Необходимо решить: уравнение cos x = 0; неравенство cos x > 0; неравенство cos x < 0; уравнение cos x = -1; уравнение cos x = 1;

Для того чтобы определить когда функция y = cos x принимает значения, равные: нулю; положительные; отрицательные; наименьшее; наибольшее,

Наумова Ирина Михайловна

14

Свойства функции y = cos x

Область определения: D(f): х ? R; Множество значений: у ? [-1;1]; Периодичность: Т = 2?; Четность: четная, т.к. cos(-x) = cos x, график симметричен относительно оси ординат; Функция возрастает при: ?+2?n ? x ? 2?(n+1), n?Z; Функция убывает при: ?n ? x ? ? + 2?n, n ? Z.

Наумова Ирина Михайловна

15

Функция принимает значения

Свойства функции y = cos x (продолжение).

Функция принимает значения: Равные нулю при х=?/2+?n, n?Z; Положительные при -?/2+2?n ? x ? ?/2+2?n, n?Z; Отрицательные при ?/2+2?n ? x ? 3?/2+2?n, n?Z; Наибольшее, равное 1, при x = 2?n, n ? Z; Наименьшее, равное –1, при x = ? + 2?n, n ? Z.

Наумова Ирина Михайловна

16

Преобразование графика функции y = cos x

Изменение аргумента y = cos (x – a) y = cos (k · x) y = cos (- x) y = cos ?x ?

Изменение функции y = cos x + A y = k · cos x y = - cos x y = ?cos x ?

Наумова Ирина Михайловна

17

Y = cos x + A

Параллельный перенос графика функции у = соs x вдоль оси ординат на А единиц вверх, если А > 0 и на ?А ? единиц вниз, если А < 0. Например: y = cos x + 2; y = cos x – 1.

Наумова Ирина Михайловна

18

Y = cos x + A (свойства)

Изменяются множество значений функции; наибольшее (наименьшее) значения; нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений. Например: y = cos x + 2. E (f): cos x + 2 = a ? cos x = a – 2, т.к. – 1 ? y ? 1, то –1 ? а – 2 ? 1 ? 1 ? а ? 3, т.е. y ? ?1; 3?. Нули функции: cos x + 2 = 0 ? cos x = -2 данное уравнение не имеет корней т.к. |-2| ? 1 ? график данной функции не пересекает ось абсцисс. f (x) > 0: при любом значении х. f (x) < 0: нет. y (наиб) = 3, при: x = 2?n, n ? Z (т.к. cos x + 2 = 3 ? cos x = 1 ? x = 2?n, n ?Z). y (наим) = 1, при: x = ? + 2?n, n ?Z (т.к. cos x + 2 = 1 ? cos x = - 1 ? x = ? + 2?n, n ? Z).

Наумова Ирина Михайловна

19

Y = k · cos x

Растяжение графика функции у = соs x вдоль оси ординат относительно оси абсцисс в k раз, если k > 0 и сжатие в 1/k раз, если 0 < k < 1. Например: y = 3 • cos x; y = 0,5 • cos x.

Наумова Ирина Михайловна

20

Y = k · cos x (свойства)

Изменяется множество значений функции; наибольшее (наименьшее) значения. Например: y = 3 • cos x E (f): 3•cos x = a ? cos x = a/3, т.к. – 1 ? y ? 1, то - 1 ? a/3 ? 1 ? - 3 ? a ? 3, т.е. y ? ?-3; 3?. Функция принимает наибольшее значение, равное 3, при: x = 2?n, n ? Z (т.к. 3cos x = 3 ? cos x = 1 ? x = 2?n, n ? Z). Функция принимает наименьшее значение, равное – 3, при: x = ? + 2?n, n ? Z (т.к. 3cos x = - 3 ? cos x = - 1 ? x = ? + 2?n, n ? Z).

Наумова Ирина Михайловна

21

Y = - cos x

Симметричное отражение графика функции y = cos x относительно оси абсцисс.

Наумова Ирина Михайловна

22

Y = - cos x (свойства)

Изменяются промежутки возрастания (убывания); промежутки положительных (отрицательных) значений. Функция возрастает на отрезке ?0; ?? и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2?n, n = ?1, ?2, ?3… Функция убывает на отрезке ??; 2?? и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2?n, n = ?1, ?2, ?3… Функция принимает положительные значения на интервале (?/2; 3?/2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2?n, n = ?1, ?2… Функция принимает отрицательные значения на интервале (- ?/2; ?/2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2?n, n = ?1, ?2…

Наумова Ирина Михайловна

23

Y = | cos x |

Часть графика, расположенная ниже оси абсцисс симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.

Наумова Ирина Михайловна

24

Y = |cos x| (свойства)

Изменяются: множество значений функции; период; промежутки возрастания (убывания); наибольшее (наименьшее) значение. E (f): y ?[ 0; 1] Периодичность: Т = ? Функция возрастает на промежутке (?/2; ?)+ сдвиги на ?n, n?Z Функция убывает на промежутке (0; ?/2) + сдвиги на ?n, n?Z f (x) > 0: при любом значении х f (x) < 0: нет y (наиб) = 1, при х = 2?n, n?Z y (наим) = 0, при х = ?/2 + ?n, n?Z

Наумова Ирина Михайловна

25

Y = cos (x – a)

Параллельный перенос графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс на а единиц вправо, если а > 0, на ?а ? единиц влево, если а < 0. Например: y = cos ( x - ?/2 ); y = cos ( x +?/4 ).

Наумова Ирина Михайловна

26

Y = cos (x – a) (свойства)

Изменяются: четность; промежутки возрастания (убывания); нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений. Например: y = cos (x + ?/4) Четность: f (x) ? f (-x) ? -f (x), т.к. cos (-(x + ?/4)) = cos (-x - ?/4) Функция возрастает на [ 3?/4; 11?/4] + сдвиги на 2?n, n?Z Функция убывает на [-?/4; 3?/4 ]+ сдвиги на 2?n, n?Z f (x) =0 при х = ?/4 +?n, n?Z f (x) > 0 при х? (-3?/4; ?/4) + сдвиги на 2?n, n?Z f( (x) <0 при х? (?/4; 5?/4) + сдвиги на 2?n, n?Z

Наумова Ирина Михайловна

27

Y = cos ( k · x )

Сжатие графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс относительно оси ординат в k раз, если k > 1 , и растяжение в 1/k раз, если 0 < k < 1. Например: y = cos 3x; y = cos 0,5x.

Наумова Ирина Михайловна

28

Y = cos ( k · x ) (свойства)

Изменяются: период; промежутки возрастания (убывания); нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений. Например: y = cos 3x Период: Т = 2?/3, (т.к. наименьший положительный период функции y = cos x равен 2?, то 3Т = 2? ? Т = 2?/3). Функция возрастает на ??/3; 2?/3? + сдвиги на 2?n/3, n?Z. Функция убывает на ?0; ?/3? + сдвиги на 2?n/3, n?Z. f (x) = 0 при х = ?/6 + ?n/3. f (x) > 0 при х? (-?/6; ?/6) + сдвиги на 2?n/3, n ? Z. f (x) < 0 при х? (?/6; ?/2) + сдвиги на 2?n/3, n ? Z.

Наумова Ирина Михайловна

29

Симметричное отражение относительно оси абсцисс

y = cos ( - x )

Наумова Ирина Михайловна

30

Y = cos (-x) (свойства)

В данном случае свойства функции не меняются, так как функция y = cos x – четная и cos (-x) = cos (x) ? все свойства функции y = cos x справедливы и для функции y = cos (-x)

Наумова Ирина Михайловна

31

Y = cos | x |

Часть графика, расположенная в области х ? 0, остается без изменения, а его часть для области х ? 0 заменяется симметричным отображением относительно оси ординат части графика для х ? 0.

Наумова Ирина Михайловна

32

Y = cos|x| (свойства)

В данном случае свойства функции не меняются, так как функция y = cos x – четная и cos |x| = cos (-x) = cos (x) ? все свойства функции y = cos x справедливы и для функции y = cos |x|

Наумова Ирина Михайловна

33

Y = 3 · cos x – 2

Построить график функции y = 3•cos x –2 (параллельный перенос графика y = 3•cos x вдоль оси OY на 2 единицы вниз).

Построить график функции y = cos x; Построить график функции y = 3•cos x (растяжение графика функции y = cos x вдоль оси OY в 3 раза);

Наумова Ирина Михайловна

34

Свойства функции y = 3 · cos x – 2

Область определения: D(f): х ? R; Множество значений: y ? [- 5; 1], т.к. –1 ? cos x ? 1 ? - 3 ? 3cos x ? 3 ? - 5 ? 3cos x – 2 ? 1; Периодичность: Т = 2?; Четность: четная, т.к. 3сos (-x) –2 = 3cos x – 2 ? график функции симметричен относительно оси OY; Возрастает: на отрезке [?; 2?] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2?n, n = ?1, ?2; ?3…; Убывает: на отрезке [0; ?? и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2?n, n = ?1, ?2, ?3…

Наумова Ирина Михайловна

35

Построим график функции

y = 3 – 2 · cos (x + ?/2).

Построим график функции y = cos x; Построим график функции y = cos (x + ?/2)(параллельный перенос графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс на ?/2 единиц влево); Построим график функции y = 2cos(x + ?/2)(растяжение графика функции y = cos(x + ?/2) вдоль оси OY в 2 раза); Построим график функции y = - 2cos(x + ?/2)(симметричное отражение графика функции y = 2cos (x + ?/2) относительно оси OX); Построим график функции y = 3 – 2cos (x + ?/2) (параллельный перенос графика функции y = - 2cos (x + ?/2) вдоль оси OY на 3 единицы вверх).

Наумова Ирина Михайловна

36

Свойства

функции y = 3 – 2 · cos (x + ?/2).

Область определения: D(f): x ? R; Множество значений: y ? ? 1; 5?, т.к. –1 ? cos (x + ?/2) ? 1 ? –2 ? 2cos (x + ?/2) ? 2 ? 1 ? 3 – 2cos (x + ?/2) ? 5; Периодичность: Т = 2?; Четность: ни четная, ни нечетная, т.к. у(-х) ? у(х) ? -у (х) (график не симметричен ни оси OY, ни началу координат ) Возрастает: на ?3?/2; 5?/2? и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2?n, n = ?1, ?2, ?3… Убывает: на ??/2; 3?/2? и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2?n, n = ?1, ?2, ?3… Функция принимает значения равные: нулю: нет (уравнение 3 – 2cos( x + ?/2) = 0 не имеет корней т.к.|- 3/2| > 1); положительные: при любом х; наибольшее, равное 5: при x = ?/2 + 2?n, n ? Z. наименьшее, равное 1: при х = - ?/2 + 2?n, n ? Z.

Наумова Ирина Михайловна

37