Граф

Его величество граф

Содержание

Введение Цель работы Что такое граф История возникновения графов Задача о Кенигсбергских мостах Одним росчерком Применение графов Выводы Список литературы

И

О

Г

Р

А

Ф

Введение

С дворянским титулом «граф» тему моей работы связывает только общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу.

Дальше

Введение

Графы заинтересовали меня своей возможностью помогать в решении различных головоломок, математических и логических задач. Так как я готовился к математической олимпиаде, то теория графов была особенно актуальна в моей подготовке. Я решил разобраться какую роль в обычной жизни играют графы.

Содержание

Цель работы

Исследовать роль графов в нашей жизни. Научиться работать с программой подготовки презентаций Microsoft PowerPoint. Научиться рисовать и обрабатывать фотографии в растровом графическом редакторе Adobe Photoshop Научиться структурировать информацию и создавать гиперсвязи между слайдами.

Содержание

Что такое граф

Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. В процессе решения задач математики заметили, что удобно изображать объекты точками, а отношения между ними отрезками или дугами.

Дальше

Что такое граф

В математике определение графа дается так: Графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами.

Рёбра графа

Вершина графа

Дальше

Что такое граф

Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной.

Нечётная степень

Чётная степень

Содержание

История возникновения графов

Термин "граф" впервые появился в книге венгерского математика Д. Кенига в 1936 г., хотя начальные важнейшие теоремы о графах восходят к Л. Эйлеру.

Дальше

История возникновения графов

Основы теории графов как математической науки заложил в 1736 г. Леонард Эйлер, рассматривая задачу о кенигсбергских мостах. Сегодня эта задача стала классической.

Содержание

Задача о Кенигсбергских мостах

Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены.

Дальше

Задача о Кенигсбергских мостах

Кенигсбергцы предлагали приезжим следующую задачу: пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, причём на каждом мосту следовало побывать только один раз.

Дальше

Дальше

Я здесь уже был!

Задача о Кенигсбергских мостах

Пройти по Кенигсбергским мостам, соблюдая заданные условия, нельзя. Прохождение по всем мостам при условии, что нужно на каждом побывать один раз и вернуться в точку начала путешествия, на языке теории графов выглядит как задача изображения «одним росчерком» графа.

Дальше

Задача о Кенигсбергских мостах

Но, поскольку граф на этом рисунке имеет четыре нечетные вершины, то такой граф начертить «одним росчерком» невозможно.

Содержание

Одним росчерком

Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым. Решая задачу О кенигсбергских мостах, Эйлер сформулировал свойства графа: Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.

Дальше

Одним росчерком

Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.

Дальше

Одним росчерком

Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.

Дальше

?

Одним росчерком

Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком».

Содержание

Применение графов

С помощью графов упрощается решение математических задач, головоломок, задач на смекалку.

Дальше

Применение графов

Задача: Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?

Дальше

Применение графов

Решение:

В

2

5

А

3

10

Б

1

8

9

Г

7

4

6

Д

Дальше

Применение графов

Лабиринт - это граф. А исследовать его - это найти путь в этом графе.

Дальше

Применение графов

Использует графы и дворянство. На рисунке приведена часть генеалогического дерева знаменитого дворянского рода Л. Н. Толстого. Здесь его вершины – члены этого рода, а связывающие их отрезки – отношения родственности, ведущие от родителей к детям.

Дальше

Родословная моей семьи

Дальше

Александр Сулейман Шах 1996.01.05

Арьяна Сулейман Шах 1998.12.07

Елена Сулейман Шах 1975.26.09

Мирвайс Сулейман Шах 1966.14.04

Карпов Михаил 29.10.1935

Алевтина Герасимовна Михайловна 26.03.1937

Султана 05.05.1939

Сулейман Шах

Сурайа

Карпов Иван

Аграфена 21.06.1907

Бобо

МирАта

Спиридонова Мария 1906

Герасим Михайлов 17.03.1901

Пайдда

Применение графов

Графами являются блок – схемы программ для ЭВМ.

Дальше

Применение графов

Графами являются сетевые графики строительства.

Дальше

Применение графов

Типичными графами на географических картах являются изображения железных дорог.

Дальше

Применение графов

Типичными графами на картах города являются схемы движения городского транспорта.

Дальше

Применение графов

Типичными графами являются схемы авиалиний, которые часто вывешивается в аэропортах.

Дальше

Применение графов

Дальше

Применение графов

Графом является и система улиц города. Его вершины – площади и перекрестки, а ребра – улицы.

Дальше

Применение графов

Графы есть и на картах звездного неба.

Дальше

Применение графов

На рисунке изображен граф, хорошо знакомый жителям нашего города. Это схема метро: вершины конечные станции и станции пересадок, ребра – пути, соединяющие эти станции.

Содержание

Выводы

Графы – это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике. Графы используются при составлении карт и генеалогических древ. В математике даже есть специальный раздел, который так и называется: «Теория графов».

Содержание

Список литературы

1.Физико-математический журнал «Квант», А. Савин, №6 1994г. 3.Графы и их применение, О. Оре, Москва, 1979г. 4. Сборник олимпиадных задач по математике, В. Г. Горбачев, 2004г. 5.Математическая смекалка, Е. И. Игнатьев, Москва 1994г. 6. Весёлые задачи, Я. И. Перельман, Москва, 2003г

Содержание