Графики

Функции и их графики

Автор: Елена Юрьевна Семенова

МОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Преобразование графиков функций

Содержание.

Функции и их графики. Преобразование графиков функций. Свойства функций.

Функции

Линейная функция Квадратичная функция Степенная функция Обратная пропорциональность Показательная функция Логарифмическая функция Тригонометрические функции

Линейная функция

y = kx + b

y

b

?

k = tg ?

0

x

B – свободный коэффициент

K – угловой коэффициент

Свойства линейной функции

Квадратичная функция

Y = ax2 + bx + c, а ? 0

y

c

x

Xв

0

x1

x2

Ув

Свойства квадратичной функции

Степенная функция

y = xn

y

x

Y = xn, где n = 2k, k ? Z

Y = xn, где n = 2k +1, k ? Z

1

0

1

Свойства степенной функции

Обратная пропорциональность

y

0

x

Свойства обратной пропорциональности

Функция y = x-n

Степенная функция y = x-n, n – четное.

y

0

x

Свойства степенной функции

Свойства степенной функции

Степенная функция y = x-n, n – нечетное.

y

0

x

Свойства степенной функции

Показательная функция

Y = ax, а > 0, a ? 1

y = ax 0 < a < 1

y = ax a > 1

y

1

0

x

Свойства показательной функции

Логарифмическая функция

Y = loga x , а > 0, a ? 1

y = loga x 0 < a < 1

y = loga x a > 1

y

1

0

x

Свойства логарифмической функции

Тригонометрические функции

y = sin x.

y = cos x

Тригонометрические функции y = sin x и y = cos x

y

1

x

0

-1

Свойства функции y = sin x

Свойства функции y = cos x

Функции y = tg x и y = ctg x

Тригонометрические функции y = tg x и y = ctg x.

y = tg x

y = ctg x

У

1

x

?2?

??

0

?

2?

-1

Свойства функции y = tg x

Свойства функции y = ctg x

Преобразования

Геометрические преобразования графиков.

Преобразование вида y = f(x)+ b Преобразование вида y = f(x – a) Преобразование вида y = kf(x) Преобразование вида y = f(mx) Преобразование вида y = |f(x)| Преобразование вида y = f(|x|) Преобразование вида |y|= f(x)

Параллельный перенос

1. Преобразование вида y = f(x)+b.

Если b > 0, то происходит

Если b < 0, то происходит

— Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на b единиц вдоль оси ординат

Преобразование

1. Преобразование вида y = f(x)+b.

y

y = x2 + b

y = x2

x

b

0

Перенос графика функции

2. Преобразование вида y = f(x – a).

Если а > 0, то происходит

Если а < 0, то происходит

— Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на а единиц вдоль оси абсцисс

Y = f(x – a)

2. Преобразование вида y = f(x – a).

y = x3

a

y = (x – a)3

y

0

x

Y = kf(x)

3. Преобразование вида y = kf(x).

Если , |k| > 1, то происходит

Если , |k| < 1, то происходит

— Это растяжение (сжатие) в k раз графика функции y = f(x) вдоль оси ординат

Преобразование вида

3. Преобразование вида y = kf(x).

y

k

1

0

1

x

Y = f(mx)

4. Преобразование вида y = f(mx).

Если , |m|> 1, то происходит

Если , |m|< 1, то происходит

— Это растяжение (сжатие) в m раз графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс

Y = (mx)2

4. Преобразование вида y = f(mx).

y = x2

y = (mx)2

y

1

0

x

1

y = |f(x)|

5. Преобразование вида y = |f(x)|.

y = |f(x)|

— Это отображение нижней части графика функции y = f(x) в верхнюю полуплоскость относительно оси абсцисс с сохранением верхней части графика

Y = |kx + b|

5. Преобразование вида y = |f(x)|.

y

0

x

y = kx + b

y = |kx + b|

Отображение правой части графика функции

6. Преобразование вида y = f (|x|).

y = f (|x|)

— Это отображение правой части графика функции y = f(x) в левую полуплоскость относительно оси ординат с сохранением правой части графика

y = f (|x|)

6. Преобразование вида y = f (|x|).

y

0

x

Отображение верхней части графика

7. Преобразование вида |y|= f(x).

|y| = f(x)

— Это отображение верхней части графика функции y = f(x) в нижнюю полуплоскость относительно оси абсцисс с сохранением только верхней части графика

y = kx + b

7. Преобразование вида |y|= f(x).

y

0

x

y = kx + b

|y|= kx + b

Свойства функций

Свойства линейной функции Свойства квадратичной функции Свойства степенной функции Свойства обратной пропорциональности Свойства показательной функции Свойства логарифмической функции Свойства тригонометрических функций: y = sin x y = tg x y = cos x y = ctg x

Свойства линейной функции

y = kx + b.

Свойства линейной функции

1о D(y) = (??; +?); E(y) = (??; +?). 2о Если b = 0, то функция нечетная. Если b ? 0, то функция ни четная, ни нечетная. 3о Если х = 0, то у = b, если у = 0, то х = ? . 4о Если k > 0, то функция возрастает при х?(??; +?). Если k < 0, то функция убывает при х?(??; +?).

Свойства квадратичной функции

Y = ax2 + bx + c, а ? 0.

Свойства квадратичной функции

1о D(y) = (??; +?). 2о Если a > 0, то E(y) = [ув ; +?); Если a < 0, то E(y) = (??; ув ]. 3о Если b = 0, то функция четная. Если b ? 0, то функция ни четная, ни нечетная. 4о Если х = 0, то у = c, если у = 0, то х1,2 = 5о Если a > 0, то функция возрастает при х?[xв ; +?); функция убывает при х?(??; хв ]. Если a < 0, то функция возрастает при х?(??; хв ]; функция убывает при х?[xв ; +?).

Подробнее

Функция четная

y = xn.

Свойства степенной функции

Если n = 2k, где k ? Z 1о D(y)=(??; +?). 2о E(y)=[0 ; +?). 3о Функция четная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция возрастает при х?[0 ; +?); убывает при х?(??; 0].

Если n = 2k +1, где k ? Z 1о D(y)=(??; +?). 2о E(y)=(??; +?). 3о Функция нечетная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция возрастает при х?(??; +?).

Свойства обратной пропорциональности

1о D(y) = (??; 0)u(0; +?) 2о E(y) = (??; 0)u(0 ; +?) 3о Функция нечетная. 4о х ? 0, у ? 0. 5о Если k > 0, то функция убывает при х?(??; 0)u(0; +?). Если k < 0, то функция возрастает при х?(??; 0)u(0; +?).

Функция возрастает

y = x-n.

Свойства степенной функции

Если n = 2k, где k ? Z 1о D(y)=(??; 0)U(0; +?). 2о E(y)=(0 ; +?). 3о Функция четная. 4о Если х = 1, то у = 1. 5о Функция возрастает при х?(??; 0); убывает при х?(0 ; +?). 6? функция ограничена снизу прямой у = 0.

Если n = 2k +1, где k ? Z 1о D(y)=(??; 0)U(0; +?). 2о E(y)=(??; 0)U(0; +?). 3о Функция нечетная. 4о Если х = 1, то у = 1; если х = -1, то у = -1. 5о Функция убывает при х?(??; 0);(0; +?). 6? Функция не ограничена

Функция ни четная, ни нечетная

Y = ax, а > 0, a ? 1.

Свойства показательной функции

1о D(y)=(??; +?). 2о E(y)=(0 ; +?). 3о Функция ни четная, ни нечетная. 4о Если х = 0, то у = 1. 5о Если а > 1, то функция возрастает при х?(??; +?). Если 0 < а < 1, то функция убывает при х?(??; +?).

Подробнее

Функция убывает

Свойства логарифмической функции y = loga x , а > 0, a ? 1.

1о D(y)= (0 ; +?). 2о E(y)= (??; +?). 3о Функция ни четная, ни нечетная. 4о Если х = 1 , то у = 0. 5о Если а > 1, то функция возрастает при х?(0; +?). Если 0 < а < 1, то функция убывает при х?(0; +?).

Подробнее

Функция нечетная

Свойства функции y = sin x.

1о D(y)=(??; +?). 2о E(y)=[?1; 1]. 3о Функция нечетная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция возрастает при Функция убывает при 6о

Подробнее

D(y)

Свойства функции y = cos x.

1о D(y)=(??; +?). 2о E(y)=[?1; 1]. 3о Функция четная. 4о Если х = 0, то у = 1. 5о Функция возрастает при х?[??+2?n;2?n], n?Z. Функция убывает при х?[2?n; ?+2?n], где n?Z. 6o xmax = 2?n; xmin = ?+2?n, где n?Z.

Подробнее

Свойства функции y = tg x

1о D(y)= где n?Z. 2о E(y)=(??; +?). 3о Функция нечетная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция возрастает при х? где n?Z. 6o Экстремумов нет.

Подробнее

Свойства функции y = ctg x

1о D(y)=(?n; ?+?n), где n?Z 2о E(y)=(??; +?). 3о Функция нечетная. 4о х ? 0; у = 0 если х , где n?Z. 5о Функция убывает при х?(?n; ?+?n), где n?Z. 6o Экстремумов нет.

Подробнее