Комбинаторика и теория вероятности

Введение в комбинаторику и теорию вероятностей

Комбинаторика Факториал Перестановки Размещения Сочетания Частота и вероятность Сложение вероятностей Умножение вероятностей

Комбинаторика

«Комбинаторика» происходит от латинского слова combinare – «соединять, сочетать».

Определение. Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств.

Дерево вариантов

5.

7

1

3

3

5

7

3

7

1

3

5

1

5

1

7

1

5

3

3

3

1

3

5

1

1

1

1

7

7

5

7

5

7

7

5

5

3

7

3

Пример 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую цифру не более одного раза?

Дерево вариантов

Квадратные числа

Треугольные числа

Прямоугольные и непрямоугольные числа

Факториал

Таблица факториалов:

Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначение n!

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n!

1

1

2

6

24

120

720

5 040

40 320

362 880

3 628 800

Перестановки

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле: Pn = n!

Определение. Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.

Восемь участниц финального забега

Решение: P8 = 8! = 40 320.

Пример 1. Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Цифры

Решение: Р4 – Р3 = 4! – 3! = 18.

Пример 2. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные?

Трёхтомник одного автора

Решение:

Пример 3. Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом прядке?

Размещения

Из n элементов

Определение. Размещением

, Называют

Конечного множества по k, где

Упорядоченное множество, состоящее из k

Элементов.

Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку

Пример 1. Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в городских олимпиадах по математике, физике, истории и географии. Каждый из учащихся участвует только в одной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Все цифры различны

Пример 2. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля?

Решение:

Сколько существует трёхзначных чисел

Решение:

Пример 3. Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений), которые НЕ кратны 3?

Сочетания

Определение. Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями из n элементов по k. (Сочетания различаются только элементами, порядок их не важен: ab и ba – это одно и тоже сочетание).

1 1

1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …

Треугольник Паскаля

…

Треугольник Паскаля

0

1

2

3

4

5

6

…

0

1

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

3

1

4

1

4

6

4

1

5

1

5

10

10

5

1

6

1

6

15

20

15

6

1

…

…

Столбцы строки

…

Треугольник Паскаля.

…

Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных

Решение:

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса, в котором 20 человек?

Выбор букета

Пример 2. Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных гвоздик и 5 белых, выбирают 2 красные гвоздики и одну белую. Сколькими способами можно сделать такой выбор букета?

Решение:

Три помидора

Решение:

Пример 3. Семь огурцов и три помидора надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один помидор и чтобы овощей в пакетах было поровну. Сколькими способами это можно сделать?

Частота и вероятность

Определение. Частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило (благоприятные испытания), к числу всех испытаний.

, Где m – число испытаний с благоприятным исходом, n – число всех испытаний.

Нахождение частоты предполагает, чтобы испытание было проведено фактически.

Определение

Частота и вероятность.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов.

Нахождение вероятности не требует, чтобы испытание проводилось в действительности.

.

Выбирается один шар

Пример 1. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 красных, 3 синих, 5 жёлтых. Шары тщательно перемешаны. Наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: а) красным; б) синим; в) жёлтым?

Решение:

А)

Б)

В)

Два игральных кубика

Пример 2. Коля и Миша бросают два игральных кубика. Они договорились, что если при бросании кубиков в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Коля, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Миша. Справедлива ли эта игра?

Решение

Пример 3

Решение:

Пример 3. Из собранных 10 велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероятность того, что 4 выбранных велосипеда из этих 10 окажутся без дефекта?

Сложение вероятностей

D и E называются несовместными событиями

Вероятность

Сложение вероятностей.

Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Вероятность появления цветного шара

Решение:

Пример 1. В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите вероятность появления цветного шара.

Событие А

Решение:

Пример 2. В контейнере 10 деталей, из низ 2 нестандартные. Найдите вероятность того, что из 6 наугад отобранных деталей окажется не более одной нестандартной.

- Всего событий

Событие А – все 6 отобранных деталей стандартные, событие В – среди 6 отобранных деталей одна нестандартная.

Благоприятные события

- благоприятные события для А.

- благоприятные события для В

Умножение вероятностей

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Монету бросают 3 раза подряд

Решение:

Пример 1. Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет все три раза.

Вероятность попадания в цель

Решение:

Пример 2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8, а при стрельбе из второго орудия равна 0,7. Найдите вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждое орудие сделало по одному выстрелу.

событие А – попадание в цель 1-го орудия; событие В – попадание в цель 2-го орудия.

Событие

- Промах 1-го орудия

Событие

- Промах 2-го орудия

События

И

Независимые

события А и

Противоположные