№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Введение в комбинаторику и теорию вероятностейКомбинаторика Факториал Перестановки Размещения Сочетания Частота и вероятность Сложение вероятностей Умножение вероятностей |
2 |
 |
Комбинаторика«Комбинаторика» происходит от латинского слова combinare – «соединять, сочетать». Определение. Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств. |
3 |
 |
Дерево вариантов 5. 7 1 3 3 5 7 3 7 1 3 5 1 5 1 7 1 5 3 3 3 1 3 5 1 1 1 1 7 7 5 7 5 7 7 5 5 3 7 3 Пример 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую цифру не более одного раза? Дерево вариантов |
4 |
 |
Квадратные числа |
5 |
 |
Треугольные числа |
6 |
 |
Прямоугольные и непрямоугольные числа |
7 |
 |
ФакториалТаблица факториалов: Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначение n! n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n! 1 1 2 6 24 120 720 5 040 40 320 362 880 3 628 800 |
8 |
 |
ПерестановкиЧисло всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле: Pn = n! Определение. Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов. |
9 |
 |
Восемь участниц финального забега Решение: P8 = 8! = 40 320. Пример 1. Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках? |
10 |
 |
Цифры Решение: Р4 – Р3 = 4! – 3! = 18. Пример 2. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные? |
11 |
 |
Трёхтомник одного автора Решение: Пример 3. Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом прядке? |
12 |
 |
РазмещенияИз n элементов Определение. Размещением , Называют Конечного множества по k, где Упорядоченное множество, состоящее из k Элементов. |
13 |
 |
Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку Пример 1. Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в городских олимпиадах по математике, физике, истории и географии. Каждый из учащихся участвует только в одной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать? Решение: |
14 |
 |
Все цифры различны Пример 2. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля? Решение: |
15 |
 |
Сколько существует трёхзначных чисел Решение: Пример 3. Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений), которые НЕ кратны 3? |
16 |
 |
СочетанияОпределение. Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями из n элементов по k. (Сочетания различаются только элементами, порядок их не важен: ab и ba – это одно и тоже сочетание). |
17 |
 |
1 11 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 … Треугольник Паскаля … |
18 |
 |
Треугольник Паскаля0 1 2 3 4 5 6 … 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 … … Столбцы строки |
19 |
 |
… Треугольник Паскаля. … |
20 |
 |
Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных Решение: Пример 1. Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса, в котором 20 человек? |
21 |
 |
Выбор букета Пример 2. Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных гвоздик и 5 белых, выбирают 2 красные гвоздики и одну белую. Сколькими способами можно сделать такой выбор букета? Решение: |
22 |
 |
Три помидора Решение: Пример 3. Семь огурцов и три помидора надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один помидор и чтобы овощей в пакетах было поровну. Сколькими способами это можно сделать? |
23 |
 |
Частота и вероятностьОпределение. Частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило (благоприятные испытания), к числу всех испытаний. , Где m – число испытаний с благоприятным исходом, n – число всех испытаний. Нахождение частоты предполагает, чтобы испытание было проведено фактически. |
24 |
 |
Определение Частота и вероятность. Определение. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов. Нахождение вероятности не требует, чтобы испытание проводилось в действительности. . |
25 |
 |
Выбирается один шар Пример 1. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 красных, 3 синих, 5 жёлтых. Шары тщательно перемешаны. Наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: а) красным; б) синим; в) жёлтым? Решение: А) Б) В) |
26 |
 |
Два игральных кубика Пример 2. Коля и Миша бросают два игральных кубика. Они договорились, что если при бросании кубиков в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Коля, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Миша. Справедлива ли эта игра? |
27 |
 |
Решение |
28 |
 |
|
29 |
 |
|
30 |
 |
Пример 3 Решение: Пример 3. Из собранных 10 велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероятность того, что 4 выбранных велосипеда из этих 10 окажутся без дефекта? |
31 |
 |
Сложение вероятностей |
32 |
 |
D и E называются несовместными событиями |
33 |
 |
Вероятность Сложение вероятностей. Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. |
34 |
 |
Вероятность появления цветного шара Решение: Пример 1. В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите вероятность появления цветного шара. |
35 |
 |
Событие А Решение: Пример 2. В контейнере 10 деталей, из низ 2 нестандартные. Найдите вероятность того, что из 6 наугад отобранных деталей окажется не более одной нестандартной. - Всего событий Событие А – все 6 отобранных деталей стандартные, событие В – среди 6 отобранных деталей одна нестандартная. |
36 |
 |
Благоприятные события - благоприятные события для А. - благоприятные события для В |
37 |
 |
Умножение вероятностейВероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей. |
38 |
 |
Монету бросают 3 раза подряд Решение: Пример 1. Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет все три раза. |
39 |
 |
Вероятность попадания в цель Решение: Пример 2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8, а при стрельбе из второго орудия равна 0,7. Найдите вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждое орудие сделало по одному выстрелу. событие А – попадание в цель 1-го орудия; событие В – попадание в цель 2-го орудия. |
40 |
 |
Событие- Промах 1-го орудия Событие - Промах 2-го орудия События И Независимые события А и Противоположные |
«Комбинаторика и теория вероятности» |
http://900igr.net/prezentatsii/algebra/Kombinatorika-i-teorija-verojatnosti/Kombinatorika-i-teorija-verojatnosti.html