Изобретатель логарифма

А х = b,

Л о г а р и ф м ы и и х с в о й с т в а .

(1)

То отыскание a есть одно обратное действие – извлечение корня; нахождение же b – другое,

Л о г а р и ф м и р о в а н и е.

Для чего были придуманы логарифмы ?

1

Возведение в степень имеет два обратных действия. Если

Конечно, для ускорения и упрощения вычислений.

Изобретатель первых логарифмических таблиц, Непер, так говорил о своих

побуждениях:

2

«Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики».

«Своими новыми и удивительными логарифмами Непер заставил меня усиленно работать и головой и руками. Я надеюсь увидеть его летом, так как никогда не читал книги, которая нравилась бы мне больше и приводила бы в большее изумление».

Современник Непера, Бригг, прославившийся позднее изобретением десятичных логарифмов, писал, получив сочинение Непера:

3

Бригг осуществил свое намерение и направился в Шотландию, чтобы посетить изобретателя логарифмов. При встрече Бригг сказал:

«Милорд, я предпринял это долгое путешествие только для того, чтобы видеть Вашу особу и узнать, с помощью какого инструмента разума и изобретательности Вы пришли впервые к мысли об этом превосходном пособии для астрономов, а именно – логарифмах; но, милорд, после того, как Вы нашли их, я удивляюсь, почему никто не нашел их раньше, настолько легкими они кажутся после того, как о них узнаёшь».

Великий математик говорил об астрономах, так как им приходится делать особенно сложные и утомительные вычисления. Но слова его с полным правом могут быть отнесены ко всем вообще, кому приходится иметь дело с числовыми выкладками.

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в

которую нужно возвести основание a, чтобы получить b (где а> 0, а?1).

О п р е д е л е н и е.

Вспомните уравнение из первого слайда: а х = b Мы оговорили, что нахождение b – логарифмирование. Математики договорились записывать это так:

Log a b = x

4

(Читается: «логарифм b по основанию a»).

Например, log 5 25 = 2, так как 5 2 = 25.

Log 4 (1/16) = - 2, так как 4 -2 = 1/16.

Log 1/3 27 = - 3, так как (1/3) – 3 = 27.

Log 81 9 = ?, так как 81 ? = 9.

Вычислить:

5

Log 2 16; log 2 64; log 2 2; Log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8); Log 3 27; log 3 81; log 3 3; Log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3); Log1/2 1/32; log1/2 4; log0,5 0,125; Log0/5 (1/2); log0,5 1; log1/2 2.

Сравните со своими ответами

6

Таблица ответов.

Если Вы всё выполнили верно, перейдите к слайду 8. Если выполнили с ошибками – перейдите к слайду 7.

Log 2 16; log 2 64; log 2 2; Log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8); Log 3 27; log 3 81; log 3 3; Log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3); Log1/2 1/32; log1/2 4; log0,5 0,125; Log0,5 (1/2); log0,5 1; log1/2 2.

Правильное решение примеров 1 столбца:

7

Log 2 16 = 4, так как 2 4 = 16. Log 2 1 = 0, так как 2 0 = 1. Log 3 27 = 3, так как 3 3 = 27. Log ? 1/32 = 5, так как (1/2) 5 = 1/32. Log 0,5 (1/2) = 1, так как (0,5) 1 = (1/2)1 = ?.

Проверьте 2 и 3 столбец, исправьте ошибки самостоятельно. Если появились вопросы – обратитесь к учителю.

a log a b = b

3 log 3 18; 3 5log 3 2; 5 log 5 16; 0,3 2log 0,3 6; 10 log 10 2; (1/4) log(1/4) 6; 8 log 2 5; 9 log 3 12.

8

Это равенство справедливо при b>0, а>0, а?1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.

Например: 2 log 2 6 = 6; 3 – 2 log3 5 = (3 log 3 5 ) – 2 = 5 – 2 = 1/25.

Вычислите:

Определение логарифма можно записать так:

Сравните со своими ответами

3 log 3 18; 3 5log 3 2; 5 log 5 16; 0,3 2log 0,3 6; 10 log 10 2; (1/4) log(1/4) 6; 8 log 2 5; 9 log 3 12.

9

Таблица ответов:

Если Вы выполнили всё правильно, перейдите к слайду 11. Если выполнили с ошибками, откройте слайд 10 и разберите решение.

Правильное выполнение некоторых заданий

10

Остальные задания проверьте ещё раз самостоятельно. Если появился вопрос – обратитесь к учителю.

С в о й с т в а л о г а р и ф м о в

11

Log a 1 = 0; log a a = 1; log a (1/a) = - 1; log a a m = m; Log a m a = 1/m.

Log 10 5 + log 10 2; Log 12 2 + log 12 72; Log 2 15 – log 2 (15/16);

Log1/3 54 – log1/3 2; Log 5 75 – log 5 3; Log 8 (1/16) – log 8 32; Log 8 12 – log 8 15 + log 8 20; Log 9 15 + log 9 18 – log 9 10;

12

Приведем примеры применения формул: Log 6 18 + log 6 2 = log 6 (18·2) = log 6 36 = 2 Log 12 48 – log 12 4 = log 12 (48/4) = log 12 12 = 1

А здесь выполните вычисления самостоятельно:

Примеры выполнения некоторых заданий…

И таблица ответов:

13

Log 10 5 + log 10 2 = log 10 (5 . 2) = log 10 10 = 1 Log 1/3 54 – log 1/3 2 = log 1/3 (54/2) = log 1/3 27 = -3 Log 8 12 – log 8 15 + log 8 20 = log 8(12/15) + log 8 20 = = log 8 (4/5 . 20) = log 8 16 = 2

Остальные задания проверьте самостоятельно. Если появился вопрос, обратитесь к учителю.

* Вычислите :

14

После выполнения этого задания обратитесь к учителю.

Домашнее задание

15

Если со всеми предложенными заданиями Вы справились без ошибок, то Ваше домашнее задание: п.37, № 489, № 490, № № 495(b,в), №496(b,в,г).

Если при выполнении предложенных заданий Вы испытывали затруднения и не смогли всё выполнить правильно, то Ваше домашнее задание: п.37, № 476, № 483(b,в), № 488, № 495(b,в).

« Считай несчастным тот день или час, в который ты не усвоил ничего

нового и ничего не прибавил к своему образованию.».

Я. А. Коменский.

16

Спасибо за урок

17