Показательная и логарифмическая функции

Показательная и логарифмическая функции

«Показательная и логарифмическая функции».

Тема

МБОУ – открытая (сменная) общеобразовательная школа № 1 г. Искитима

Цели

Изучить логарифмическую и показательную функции как взаимно обратные функции. Показать практическую значимость логарифмической и показательной функций.

Содержание

Показательная функция. График показательной функции. Свойства показательной функции. Логарифмическая функция. График логарифмической функции. Свойства логарифмической функции. Из истории. Приложения логарифмической функций. Применение показательной функций. Задание для самостоятельной работы.

Показательная функция

ее свойства и график.

Функция

заданная формулой вида у = ах, где a > 0,а?1. называется показательной функцией с основанием а.

График функции у = ах

При a > 1.

При 0 < a < 1.

Свойства функции у = ах

D (ax) = R; E (ax) = R+; Функция возрастающая; При x = 0 ax = 1, при x Є (- ?; 0) 0 < ax < 1, при x Є (0; ?) ax > 1.

D (ax) = R; E (ax) = R+; Функция убывающая; При x = 0 ax = 1 при x Є (- ?; 0) ax > 1, при x Є (0; ?) 0 < ax < 1.

При 0 < a < 1

При a > 1:

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Функция у = ах

Показательная функция у = ах непрерывна и возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1 на всей числовой прямой. В обоих случаях E (ax) = R+.

Показательная функция имеет обратную функцию

Следовательно, показательная функция имеет обратную функцию с областью определения R+ и множеством значений R , непрерывную в каждой точке области определения.

У=logax

Эту обратную функцию называют логарифмической функцией при основании a и обозначают у=logax.

Схематические графики функции у = logax

При a > 1

При 0 < a < 1

Свойства функции у = logax

При a > 1

При 0 < a < 1.

D (logax) = R+. E (logax) = R. loga1 = 0. функция у = logax возрастающая. Если x Є ( 0; 1), то logax < 0; если x Є (1;?), то logax > 0.

D (logax) = R+. E (logax) = R. loga1 = 0. функция у = logax убывающая. Если x Є ( 0; 1), то logax > 0; если x Є (1; ?), то logax < 0.

Из истории

Дробные показатели степени

и наиболее простые правила действий над степенями с дробными показателями встречались в ХIV в. у французского математика Н. Оресма (1323—1382).

Немецкий математик М. Штифель

(1486—1567) ввел название «показателя» и дал определение а0 = 1 при а ? 0, пришел к соотношениям log (ab) = log a + log b, log (a/b) = log a – log b.

Способы вычисления арифметических выражений

Теорию логарифмов развил Дж. Непер. Он разработал способы вычисления арифметических выражений с помощью логарифмов и составил подробные таблицы логарифмов.

(1550—1617)

Приложения логарифмической функции

Спирали

Спирали (от греч. sp?ira, буквально — витое) - плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё.

Логарифмическая спираль

- кривая, уравнение которой в полярных координатах: r = аек?. Была известна многим математикам 17 в.

Вот вы когда-нибудь слыхали о логарифмической спирали

Закручены по ней рога козлов

И не найдете вы на них нигде узлов.

Моллюсков многих и улиток ракушки тоже все завиты

Ножи в механизме

И эту спираль мы повсюду встречаем: К примеру, ножи в механизме вращаем, В изгибе трубы мы ее обнаружим, Турбины тогда максимально послужат!

Паука все плетенья заучены

В подсолнухе семечки тоже закручены И паука все плетенья заучены. Наверняка, и о том вы не знали, Галактики тоже кружат по спирали!

Применения показательной функции

В природе, технике и экономике встречаются процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции: рост бактерий в идеальных условиях, радиоактивный распад вещества, рост вклада в сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у человека, потерявшего много крови.

Процессы, которые подчиняются законам выравнивания

В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемые показательной функцией: температура чайника изменяется со временем, при включении и выключении электрического тока в цепи,

При падении тела в воздухе с парашютом, при разрушении адреналина в крови.

Задание 1

Постройте график функции у = 3х и у = (1/3)х С помощью построенных графиков найдите: значение у, соответствующее значения х, равному -2; -1; 0; 1; 2; при каком значение х значение у равно 0,5; 1; 3; 7; множества решений неравенств 3х < 1, 3x > (1/3)х, (1/3)х

Далее

Ответы

Задание 2

Постройте график функции у = 3х. Постройте график функции, обратной функции у = 3х, опишите ее свойства. С помощью графика функции у = log3x сравните собой числа: log31/2 и log30,9; log33 и log35. Ответы

Ответы к заданию 1

1) 2) а) у1? 0,1; 0,3; 1; 3; 9. У2 ? 9; 3; 1; 0,3; 0,1. б) х1? -0,7; 0; 1. х2? 0,7; 0; -1. в) (0; ?); (0; ?); (1; ?); (-?;-1); Назад

Ответы к заданию 2

Далее

1) 2) Свойства смотри при a > 1 3) log31/2 < log30,9; log33 < log35. Назад

Свойства функции у = logax при a > 1

D (logax) = R+. E (logax) = R. loga1 = 0. функция у = logax возрастающая. Если x Є ( 0; 1), то logax < 0; если x Є (1;?), то logax > 0. Назад

Спасибо за урок