№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Функции и графики в школьном курсе математикиТМОМ Методика изучения основных разделов предметного содержания школьного курса математики Тема 4 |
2 |
 |
ПланРазличные подходы к определению понятия функция Методика введения понятия функции в учебниках различных авторов Методические особенности изучения отдельных классов функций. |
3 |
 |
Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курсаматематики — одно из крупнейших достижений современной методики. Фундаментальность понятия порождает многообразие путей разворачивания содержания данной линии и различные трактовки самого понятия. |
4 |
 |
Генетическая трактовка понятия «функция»Генетическая трактовка понятия функции основана на понятиях переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости. |
5 |
 |
Генетическая трактовка понятия «функция»Достоинства генетической трактовки: «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляемый модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. , Легко устанавливаемая связь с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нем, выражаются аналитически или таблично. |
6 |
 |
Генетическая трактовка понятия «функция»Недостатки генетической трактовки: переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента |
7 |
 |
Логическая трактовка понятия «функция»Логическая трактовка понятия функции: понятие функции выводится из понятия отношения, функция выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами |
8 |
 |
Логическая трактовка понятия «функция»Достоинства логической трактовки: Обогащение языка школьной математики за счет иллюстрирования понятия с помощью разных средств; Обобщенность понятия, позволяющая устанавливать различные связи. Недостатки логической трактовки: Выработанное понятие не востребовано, т.к. в дальнейшем в основном используются только числовые функции |
9 |
 |
В практике современной школы в качестве ведущего подхода принятгенетический подход с одновременным использованием всего полезного из генетического подхода. |
10 |
 |
Система компонентов понятия «функции»Представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и в математике; представление о функции как о соответствии; построение и использование графиков функций, исследование функций; вычисление значений функций, определенных различными способами. |
11 |
 |
Введение понятия функции — длительный процесс, завершающийсяформированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Изучение разных способов задания функции – важный методический прием. |
12 |
 |
Направления введения понятия «функция»упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии: способы задания и общие свойства функций, Графическое истолкование области определения, области значений, возрастания и т. д.; глубокое изучение отдельных функций и их классов; расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функцией. |
13 |
 |
Особенности первого направленияОднозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции отводится значительное место. Для формирования понятия привлекаются различные способы задания функции, хотя в дальнейшем все способы задания функций играют соподчиненную роль аналитическому способу задания |
14 |
 |
Причины важности рассмотрения разных способов задания функцииВо-первых, оно связано с практической потребностью: и таблицы, и графики, как правило, служат для удобного в определенных обстоятельствах представления функции, имеющей аналитическую форму записи. Во-вторых, оно важно для усвоения всего многообразия аспектов понятия функции: формула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений и операций, а эта система такова, что различные компоненты понятия функции могут быть отображены наиболее естественно различными средствами. |
15 |
 |
Система заданий на установление связей между тремя основными способамизадания функции (формулой, графиком, таблицей) включает 6 типов упражнений с изменением формы 3 типа с сохранением формы. |
16 |
 |
Основные подходы к введению понятия «функции»Дедуктивный подход Изначально полное и сжатое изложение учебного материала, пусть даже малопонятного при первом прочтении, дальнейшая углубленная проработка всех примеров, терминов и определений с помощью иллюстраций. Индуктивный подход Изначально рассмотрение большого числа примеров, с помощью которых интуитивно выявляется суть понятия, последующее более строгое определение основных понятий. |
17 |
 |
Изучение классов функцийКласс функций – множество функций, обладающих общностью аналитического способа задания (формулы) и исходящими из этого сходными особенностями графика, областей применения. Для функций, входящих в класс, изучение идет в двух аспектах : Изучение данной функции как члена класса; Изучение свойств всего класса на примере типичной функции, входящей в класс. |
18 |
 |
Методическая схема изучения функции, входящей в класс |
19 |
 |
Методические особенности изучения прямой и обратной пропорциональнойзависимости. Опора на знания о пропорции и пропорциональной зависимости величин. Индуктивный подход к введению понятия. Использование приема «загущения» точек при построении графика. |
20 |
 |
Последовательность действий построения графиков функций методом«загустения» точек. Нанесение нескольких точек; наблюдение — все построенные точки расположены на одной прямой; проведение этой прямой; проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость — она принадлежит построенной прямой. Вывод о графике данной функции. |
21 |
 |
Изучение линейной функцииПредставление о линейной функции выделяется при построении графика некоторой линейной функции. Основная мысль, которую необходимо обосновать, состоит в том, что рассмотрение графика отдельно взятой линейной функции не может дать полного представления об основных свойствах графиков всех линейных функций. |
22 |
 |
Построение графиков линейной функцииПостроение первой из рассматриваемых функций проводится методом «загустения» точек. Затем на основе вывода о виде линии, являющейся графиком любой линейной функции, геометрически обосновывается второй способ построения графика линейной функции – «по двум точкам». Следует сразу отметить, что первый способ является универсальным (т.е. общим для всех функций), а второй – специфическим для линейной функции. |
23 |
 |
Изучение свойств линейной функцииНовая для учащихся познавательная задача Исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установить геометрический смысл параметров. Методический прием исследования: Рассмотреть одновременно нескольких функций, у которых один из параметров изменяется, а другой остается постоянным. Простейшая система, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с их последующим анализом и установлением связей между ними. |
24 |
 |
Изучение свойств линейной функции |
25 |
 |
Изучение свойств линейной функцииГрафики (а) и (б) образуют с осью абсцисс одинаковые углы, это же имеет место и для графиков (в) и (г). Графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем (в) и (г). Коэффициенты при переменной в формуле для первой и второй функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты у третьей и четвертой функций. Сформулировать вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента. Ввести термин «угловой коэффициент» |
26 |
 |
Изучение свойств линейной функцииАналогичную работу необходимо провести для отрицательного коэффициента k и коэффициента b. Рассмотренный прием называют оценочным исследованием функции |
27 |
 |
Особенности изучения квадратичной функцииИзучение квадратичной функции учащимися можно начать с построения параболы, с изучения физических процессов, где зависимость между величинами может быть выражена с помощью многочленов второй степени, |
28 |
 |
Особенности изучения квадратичной функцииДля изучения квадратичной функции могут быть применены все приемы, использованные для изучения линейной функции: построение графика методом «загустения» точек; оценочное исследование функции. Однако, для изучения свойств квадратичной функции этих приемов недостаточно, т.к. свойства квадратичной функции существенно отличаются от свойств линейной функции |
29 |
 |
Особенности изучения квадратичной функцииСвойства квадратичной функции, требующие расширения приемов ее исследования и выполнения заданий особого вида: функция не монотонна на области определения; характер изменения функции не является равномерным; ее график симметричен относительно некоторой прямой. |
30 |
 |
Особенности изучения квадратичной функцииГлавная особенность квадратичной функции: не все ее параметры имеют ясный геометрический смысл, как в случае с линейной функцией Именно поэтому к изучению класса квадратичных функций привлекается прием, основанный на преобразовании выражения, задающего функцию, к виду y = а (х — b)2 + с, и использовании геометрических преобразований для построения графика произвольной квадратичной функции из параболы стандартного положения, т.е. графика функции у=ах2, а?0. |
31 |
 |
Особенности изучения квадратичной функцииПоследовательность рассмотрения частных видов квадратичной функции: y = х2, y = ах2, а?0. y = ах2 + с, а?0. y = а(х + b)2, а?0. y = а(х + b)2 + c, а?0. |
32 |
 |
Способы построение графиков квадратичной функцииВ результате всестороннего изучения свойств квадратичной функции и ее графиков должны быть сформированы два способа построения графика: по характеристическим точкам; с помощью преобразования графика простейшей функции y = х2, |
33 |
 |
Изучение степенной, показательной и логарифмической функцийСтроится по аналогичным схемам. Главной особенностью является наличие больших ограничений на параметры. ограничение области определения функций. |
34 |
 |
Изучение тригонометрических функцийГлавное внимание уделяется свойствам четности/нечетности и периодичности функций; Обобщаются все известные ранее приемы исследования функций и построения графиков; Дальнейшее обобщение общие представления о свойствах функций и их графиков осуществляется в курсе начал математического анализа. |
35 |
 |
Благодарю за внимание |
«Понятие функции» |