Последовательности

Числовые последовательности Устинова Н.Г., лицей №1

В сберегательном банке по номеру лицевого счета вкладчика можно легко

найти этот счет и посмотреть, какой вклад на нем лежит. Пусть на счете №1 лежит вклад рублей, на счете №2 - рублей и т.д. Получается числовая последовательность: где N – число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число .

Число

Называют первым членом последовательности

- Вторым членом последовательности и т.Д.

- N-ым членом последовательности

Примеры числовых последовательностей

Последовательность положительных четных чисел:

2, 4, 6, 8,

10,

?,

… 2n,…

Последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, …..,

,…

Виды последовательностей:

Конечные:

Пример: последовательность положительных двузначных чисел:

10,11,12,….98,99.

Бесконечные:

Пример: положительные четные числа:

2,4,6,8,10,…

Способы задания числовых последовательностей:

Перечислением ее членов: 1, 3, 5, 7, 9. – последовательность нечетных однозначных чисел. Формулой n-ого члена последовательности:

2, 4, 6, 8, …2n,…

-1, 1, -1, 1, -1, 1,…

5, 5, 5, 5,…

1, 11, 21, 31, 41,…

,

11

Формулой, выражающей любой член последовательности через предыдущий, зная один или несколько первых членов – реккурентный способ:

Рассмотрим последовательность:

1, 5, 9, 13, 17, 21,

25,

29,…

Определение: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Т.е. последовательность – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие:

D – разность арифметической прогрессии

Нахождение n-ого члена арифметической прогрессии:

По определению арифметической прогрессии:

- Формула n-ого члена арифметической прогрессии

Нахождение суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Обозначим сумму n первых членов арифметической прогрессии через

Запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания:

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна

Число таких пар равно n.

(1)

(2)

(1)

(2)

Сложив почленно равенства (1) и (2), получим:

Разделив обе части равенства на 2, получим:

- Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Если задан первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, где вместо

Стоит выражение