Предел последовательности чисел

Предел последовательности

Последовательность

Определение 1. Функцию вида у= f (х), х ? ? называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f (n) или у1, у2, у3,…, уn,…, или (уn).

(аn) – последовательность а1 ; а2 ; а3 ;…. аn - члены последовательности Первый n-ый член послед. член послед.

Способы задания числовой последовательности

Словесный способ. Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.

Пример 1. Последовательность простых чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… . Пример 2. Произвольный набор чисел: 1,4,12,25,26,33,39,… . Пример 3. Последовательность четных чисел: 2,4,6,8,10,12,14,16,… .

Аналитический способ

Способы задания числовой последовательности.

2. Аналитический способ. Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.

Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2n. Пример 2. Последовательность квадратов натуральных чисел: у = n?. Пример 3. Стационарная последовательность: у = С С, С, С, С,…,С,… Пример 4. Последовательность у = n? - 3n – 2, -2,0,4,10,… Пример 5. Последовательность у = 2? 2, 2?,2?,…,2?,…

Рекуррентный способ

Способы задания числовой последовательности.

3. Рекуррентный способ. Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известен ее предыдущий элемент.

Пример 1. a1 = 3 an+1 = a1=3 a3 = 92 = 81 a2 = 32 = 9 a4 = 812 = 6561 Пример 2. Арифметическая прогрессия аn+1= аn+d, d - разность арифметической прогрессии. Пример 3. Геометрическая прогрессия bn+1= bnq, q – знаменатель геометрической прогрессии.

Примеры последовательностей

Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6…

Продолжите ряд 77, 49, 36, 18…

Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7

Ответ: Перемножаются две цифры, входящие в предыдущее число

Числа Фибоначчи

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…

Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.

Леонардо Фибоначчи - итальянский математик. (родился около 1170 — умер после 1228),

Определение

2. Последовательность (уn), называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Например: -1, -4, -9, -16,…, - n? ,…

Верхняя граница - -1

Последовательность (уn) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство уn ? М. Число М называют верхней границей последовательности.

Последовательность (уn) ограничена снизу

Определение 3. Последовательность (уn), называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Например: 1, 4, 9, 16,…,n?,…

Нижняя граница - 1

Последовательность (уn) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство уn ? m. Число m называют верхней границей последовательности.

Ограниченность последовательности

означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку.

Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной последовательностью.

Члены последовательности

(уn) как бы «сгущаются» около точки 0. Говорят последовательность (уn) сходится.

У последовательности (уn) такой «точки сгущения» нет. Говорят последовательность (уn) расходится.

Число b называют пределом последовательности

Определение 6. Число b называют пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Читают: предел последовательности (уn) при стремлении n к бесконечности равен b или предел последовательности (уn) равен b.

Понятие предела числовой последовательности геометрически

Если |q| > 1, то последовательность уn = q? расходится.

Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности lim C = C

«Окрестность»: интервал (а – r; а + r ) называется окрестностью точки а, а число r – радиусом окрестности .

Свойства сходящихся последовательностей

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. ( теорема Вейерштрасса).

Вычисление пределов числовых последовательностей

«ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ». Теорема Если lim xn = b, lim yn = c ,то предел суммы равен сумме пределов: lim ( xn + yn ) = b + c ; предел произведения равен произведению пределов: lim ( xn yn ) = bc ; предел частного равен частному пределов: lim = , c ? 0 ; постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim ( kxn ) = kc .

Внимание

Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение.