Пределы последовательностей и функций

Предел последовательности и функции

Цели:

Сформировать понятие предела последовательности, функции; Ввести понятие сходящихся и расходящихся последовательностей, горизонтальной асимптоты; Сформировать умения вычисления пределов.

Пояснительная записка

Изучение данного учебного элемента разбито на несколько этапов. После каждого этапа вам необходимо будет выполнить практические задания в своей рабочей тетради. По окончании изучения элемента вам предстоит выполнить контрольную работу по этой теме также в своей тетради. Рабочую тетрадь по окончании изучения сдать на проверку учителю. Желаем удачи!

Сопутствующие учебные материалы

Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл.: Учебник для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович. : 2-е – изд. – М.: Мнемозина, 2001; Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл.: Задачник для общеобразоват. Учреждений / А. Г. Мордкович, Л. О. Денисова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчикова. - 2-е – изд. – М.: Мнемозина, 2001; Рабочая тетрадь.

Опорные знания

Для успешного изучения данного учебного элемента вы должны знать: Что такое функция; Что такое числовая последовательность; Какими свойствами обладают числовые последовательности.

Предел числовой последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности: : 2, 4, 6, 8, 10, …, ,…; : 1, , , , , … , … Изобразим члены этих последовательностей точками на координатных прямых. Обратите внимание как ведут себя члены последовательности.

Замечаем, что члены последовательности как бы «сгущаются» около точки

0, а у последовательности таковой точки не наблюдается.

Но, естественно, не всегда удобно изображать члены последовательности, чтобы узнать есть ли точка «сгущения» или нет, поэтому математики придумали следующее…

Определение 1. Пусть a - точка прямой, а r - положительное число

Интервал (a-r, a+r) называют окрестностью точки a , а число r - радиусом окрестности.

Геометрически это выглядит так:

Например

(-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиус окрестности равен 0. 3.

Теперь можно перейти к определению точки «сгущения», которую математики назвали «пределом последовательности».

Пишут:

Читают:

Стремится к .

Либо пишут: .

Читают: предел последовательности при стремлении к бесконечности равен .

Определение 2. Число

Называют пределом

Последовательности

, Если в любой заранее

Выбранной окрестности точки

Содержатся

Все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Комментарий

Пусть . Возьмем окрестность точки r радиуса, r, то есть (b-r, b+r) . Тогда существует такой номер n1 , начиная с которого все последующие члены последовательности содержатся внутри указанной окрестности, например, yn+1, yn+8 и т. д., а вне этой окрестности содержится конечное числа членов последовательности y1, yn-1, yn-5 и т. д. При этом, если выбрать другую окрестность (другого радиуса), то для нее также найдется какой – то номер, начиная с которого все последующие члены последовательности будут попадать в указанный интервал.

Пример

Существует ли номер , начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки радиуса , если

1.

Решение.

Решение

Пример

Существует ли номер n0, начиная с которого все члены последовательности (хn) попадают в окрестность точки а радиуса r=0.1, если а=0, хn=

Ответ: начиная с n0=4 все члены последовательности (хn) попадают в окрестность (-0.1;0.1)

Практические задания

1. Запишите окрестность точки радиуса в виде интервала, если:

2. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал:

3. Принадлежит ли точка окрестности точки радиуса , если:

Содержание

Сходящиеся последовательности и их свойства, расходящиеся последовательности; Вычисление пределов числовой последовательности; Графический смысл предела; Сумма бесконечной геометрической прогрессии; Предел функции на бесконечности; Предел функции в точке.

Итоговое задание

Итоговое практическое задание

1. Существует ли номер , начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки радиуса :

2. Постройте график последовательности

И составьте,

Если это возможно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:

Итоговое практическое задание

3. Найдите - й член геометрической прогрессии , если:

4. Вычислить: