Применение непрерывности

Применение непрерывности и производной

Автор: учитель математики МОУ « Средняя общеобразовательная школа № 30» г. Калуги Григоричева Галина Васильевна

Метод интервалов

Методом интервалов можно решать неравенства

вида: f(х)>0 , f(х)?0 f(х)<0 , f(х)?0 ТЕОРЕМА : Если функция f непрерывна на интервале (a;b) и не обращается в 0 на этом интервале, то f сохраняет на нём постоянный знак.

Необходимым условием смены знака в точке С является : f (c)=0

Однако , это не является достаточным условием : функция f может и не менять своего знака при переходе через точку С

Найти область определения функции

Чтобы решить неравенство методом интервалов , следует : Найти область определения функции f Найти значения переменных, которые обращают функцию в нуль Отметить на числовой прямой найденные точки, в порядке возрастания Определить знаки функции в каждом из промежутков Определить ответ.

1 Х2+4х-5=0 х1=-5 х2=1 2 х+3=0 Х= -3

4 взяв точку из каждого интервала, подставив её в функцию, определим знаки

5 Ответ (-5;-3], (1; +?).

Касательная к графику функции

Касательной к кривой в данной точке M называется предельное положение секущей NM

когда точка N стремится вдоль кривой к точке M.

?

Геометрический смысл производной

k = tg? = lim ?y/?x =f’(x) x?0.

Геометрический смысл производной Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания:

Координаты точки касания

0.

0

0

Где (x0;f (x0))-координаты точки касания, (x;y)- текущие координаты, т.е координаты любой точки, принадлежащей касательной, а f ’(x0) = k = tg? - угловой коэффициент касательной.

Уравнение касательной к кривой y = f(x)

В заданной точке с абсциссой x0 имеет вид:

y = f(x ) + f ' (x )(x - x )

Составить уравнение касательной к графику функции

Пример Составить уравнение касательной к графику функции y = 1/x в точке x = 1 Решение. a = 1 2) f(a) = f(1) = 1/1 =1 3) f’(x) = -1/x2 ; f’(a) = f’(1) = = -1/12 = -1 4) Подставим найденные три числа: a = 1, f (a) = 1,f ’(a) = -1 в уравнение касательной. Получим: y = 1- (x-1) ; y = 2-x. Ответ: y = 2-x.

Алгоритм нахождения уравнения касательной 1. Обозначить абсциссу точки касания буквой а Вычислить f(a) Найти f’(x) и вычислить f’(a) Подставить найденные числа: a, f(a) , f’(a) в уравнение касательной y = f(x0)+f ‘(xo)(x-x0)

Гипербола

На рисунке изображена гипербола y=1/x, построена прямая y = 2-x Чертёж подтверждает проведённые выкладки: действительно прямая y = 2-x касается гиперболы в точке (1;1).

M

Приближённые вычисления

График близок к касательной

Для дифференцируемой в точке х0 функции f при ?х, мало отличающихся от нуля, её график близок к касательной (проведённой в точке графика с абсциссой х0 ),т.е. при малых ?х f(х) ?f(х 0)+f‘(х0)?х.

Формула

1) 1+?х?1+1/2?х.

2) (1+?х)n?1+n?x

Формула f(х) ?f(х 0)+f‘(х0)?х позволяет вывести следующие формулы для приближённых вычислений

Значение выражения

1,06= 1+0,06?1+1/2?0,06=1,03.

Решение: ?х=0,06

Вычислим по формуле(1)

1+?х?1+1/2?х значение выражения 1,06

Вычислим по формуле

Решение: ?х=0,001; n=100 1,001100=(1+0,001)100? ?1+100?0,001=1,1.

(1+?х)n?1+n?x значение выражения 1,001100

Вычислим по формуле(2)