Производная в ЕГЭ

Производная в заданиях уровня В

ЕГЭ Производная в заданиях уровня В.

f(x) 2

f/(x)

1

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Повторить и обобщить теоретические знания

Цели урока.

повторить и обобщить теоретические знания по темам: «Геометрический смысл производной», «Применение производной к исследованию функций» рассмотреть все типы задач В8, встречающиеся на ЕГЭ по математике проверить свои знания при самостоятельном решении задач научиться вносить свой ответ в экзаменационный бланк ответов

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Геометрический смысл производной

Тема 1.

Геометрический смысл производной

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Устная работа

tg A-?

Tg В -?

Устная работа

Вычислите tg?, если ? = 135°, 120°, 150°

А

4

В

С

7

А

В

С

3

Найдите градусную меру В

Найдите градусную меру А

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Угловой коэффициент прямой

?

K – угловой коэффициент прямой (касательной)

Касательная

У

0

Х

Геометрический смысл производной: значение производной функции f(x) в точке с абсциссой равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке ( ; f( ) ), т.е.

Поскольку , то верно равенство

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Касательная параллельна оси

Если ? < 90°, то k > 0.

Если ? > 90°, то k < 0.

Если ? = 0°, то k = 0. Касательная параллельна оси ОХ.

Уравнение касательной

0

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Острый или тупой угол образует касательная к графику функции в точке х

с положительной полуосью Ох?

Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции y = x? + 2 в точке х? = -1?

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

График функции

Задание №1.

На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f(x) в точке х? = -1.

8

4

2

4

1

1

0

Подсказка

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Ответ

Задание №2.

В 8

0

,

7

5

6

8

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задание №3

Ответ:

Задание №3.

В 8

-

3

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

График производной функции

Задание №4.

Ответ: 4

На рисунке изображён график производной функции y = f (x), определённой на интервале (-5;6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой у = 2х – 5 или совпадает с ней.

2

Подсказка

0

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Количество точек касания

Задание №5.

Ответ: 5

-1

К графику функции y = f(x) провели касательные под углом 135° к положительному направлению оси Ох. На рисунке изображён график производной функции. Укажите количество точек касания.

Tg 135° = -1, значит производная в точках касания равна -1

Подсказка

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Определите градусную меру угла наклона касательной

Ответ:

Задание №6

В8

4

5

К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой х? = 3. Определите градусную меру угла наклона касательной, если на рисунке изображён график производной этой функции.

1

0

1

3

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Определите величину угла в градусах

Ответ:

Задание №7

В8

4

5

По графику производной функции определите величину угла в градусах между положительным направлением оси Ох и касательной к графику функции y = f(x) в точке х? = -3.

1

-3

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

В8

Ответ:

В8

0

,

5

В8

-

1

Ответ:

Задание №8

Задание №9

Подсказка

Подсказка

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Начало координат

Ответ:

Задание №10

В8

0

,

7

5

Прямая проходит через начало координат и касается графика функции y = f(x). Найдите производную в точке х = 4.

Производная функции в точке х = 4 – это производная в точке касания хо, а она равна угловому коэффициенту касательной или тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси ох

Подсказка

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задание №11

В8

6

Ответ:

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задания

Решите самостоятельно следующие задания.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

№1

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

№2

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

№3

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

№4

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

№5

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

№6

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

№7

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

№8

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Проверьте себя

1

-

0

,

2

5

0

,

2

5

4

1

-

3

1

0

,

2

5

№1

№5

№2

№6

№3

№7

№4

№8

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Применение производной к исследованию функций

Тема 2

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Производная меняет знак с плюса на минус

max.

max

max

min

min

min

0

Если производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку Хо, то Хо-точка максимума

Если производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку Хо, то Хо-точка минимума

max

0

min

min

min

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Свойства

Закончите предложение.

,То

Е с л и

Свойства f(x):

Свойства f '(x):

Неверно, что f ?(x) ? 0

Неверно, что f ?(x) ? 0

Функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную

Проходя через точку х?, f ?(x) меняет знак с « - » на « + »

1

6

Проходя через точку х?, f ?(x) меняет знак с « +» на « - »

2

Функция убывает на промежутке и имеет на нем производную

7

3

4

Функция возрастает на промежутке

4

3

Функция убывает на промежутке

5

1

в точке Х? функция имеет экстремум

f ?(x) ? 0

6

2

Х? - точка минимума функции

f ?(x) ? 0

7

5

F ?(x?) = 0 или f ?(x?) не существует

Х? - точка максимума функции

Укажите точку минимума функции y = f (x)

Задание №1.

Ответ: -2

Укажите точку минимума функции y = f (x), заданной на отрезке [-6;4], если на рисунке изображён график её производной.

-6

-2

4

0

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Промежутки возрастания

Задание №2.

Ответ: (-5;-3],[ 0;3] - промежутки возрастания, [-3;0], [3;4) – промежутки убывания

Укажите промежутки монотонности функции, используя график её производной.

-5

1

4

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Производная положительна

Задание №3.

Используя график функции, укажите промежутки, на которых её производная положительна, отрицательна.

Производная положительна на промежутках: (-5;-4), (-2;2) Производная отрицательна на промежутках: (-4;-2), (2;4)

-5

-2

4

1

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н

Решите самостоятельно следующие задания.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задание №1

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Найдите абсциссу точки касания

Задание №2.

Прямая у= 2х является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл

Задание №3.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задание №4

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задание №5

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задание №6

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задание №7

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задание №8

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задание №9

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задание №10

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл

Задание №11.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Задание №12

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

1

Проверьте себя.

1

7

0

,

5

3

2

8

-

1

3

9

7

1

4

7

8

5

111

2

5

1

6

-

2

-

2

1

10

12

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Угловые коэффициенты параллельных прямых

равны.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Отрезок касательной

Для вычисления углового коэффициента касательной достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток и, считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение катетов.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Касательная параллельна прямой

Так как касательная параллельна прямой y=8x+11, то их угловые коэффициенты совпадают, т.е. угловой коэффициент касательной равен восьми k = 8. xo – абсцисса искомой точки касания.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Абсциссы двух точек касания

В результате решения будут найдены абсциссы двух точек касания, которые принадлежат графику данной функции. Но только одна из этих точек принадлежит касательной у = -4х-11, чтобы определить какая, нужно найденные абсциссы подставить в оба из данных уравнений. Должны получиться верные равенства.

У

Х

0

У = -4х-11

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Поставьте себе оценку за самостоятельные работы

Балл 19-20 15-18 10-14 0-9

Оценка 5 4 3 2

Верно выполненное задание – 1 балл. Каждая консультация учителя во время самостоятельной работы снимает 0,5 балла

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Памятка

Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке или значение производной функции в точке, надо найти тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох. Для этого достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток и, считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение противолежащего катета к прилежащему. Если на рисунке нет касательной, но известны точки, через которые она проходит, сначала надо провести касательную, а потом рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором найти отношение катетов. Если угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох острый, то угловой коэффициент касательной и значение производной функции в точке положительны. Если угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох тупой, то угловой коэффициент касательной и значение производной функции в точке отрицательны.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н. г.Белый Тверской обл.

Связь функции и её производной

Вспомнить связь функции и её производной поможет рисунок Точки экстремума( максимума и минимума) следует искать среди критических точек (производная равна нулю или не существует). Если производная меняет свой знак с плюса на минус при переходе через точку Хо, то Хо – точка максимума. Если производная меняет свой знак с минуса на плюс при переходе через точку Хо, то Хо – точка минимума. Если функция на отрезке возрастает, то своё наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее - на правом. Если функция на отрезке убывает, то своё наименьшее значение она принимает на правом конце отрезка, а наибольшее - на левом .

min

max

3

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Рефлексия

У меня всё получилось!!!

Надо решить ещё пару примеров.

Ну кто придумал эту математику !

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Спасибо за работу

Автор: учитель высшей категории МОУ «Бельская СОШ» Тверской области Сильченкова Светлана Николаевна

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н.. г.Белый Тверской обл.