Решение иррациональных уравнений и неравенств

Иррациональные уравнения и неравенства

Творческая работа по теме: ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА в рамках проблемного обучения (по учебнику А.Н.Колмогорова, 2001 год.).

Орловой Анастасии IV курс 3 группа

Содержание

Цели обучения теме Тематическое планирование Логико-математический анализ темы Анализ задачного материала Пример работы с понятием Пример работы с теоремой Пример работы с задачей Дополнительные задачи Система контроля Использованная литература

Основная цель

На основе систематизации и обобщения знаний, полученных учащимися в курсе математики VII - X классов дополнить и обобщить основные теоретические положения линии уравнений и неравенств (иррациональные уравнения и неравенства).

Назад

Назад

Подстановка корней в уравнение

Решение иррационального уравнения

Свойства верных числовых равенств

Решение иррационального неравенства

Теоремы о равносильных и неравносильных преобразованиях

Пропедевтика

№388; №394; №404; №412; №415.

№417; №419; №150 (с.297).

№422; №426; №148 (с.297).

Назад

Пропедевтика

Пропедевтика

Актуализация знаний

Актуализация знаний

Мотивация введения нового материала

Мотивация введения нового материала

Закрепление нового материала

Закрепление нового материала

Повторение (сопутствующее)

Повторение (сопутствующее)

Первичное

В условиях комплексного применения знаний

Подтема

2.

2

Назад

1

2

Подтема

Подтема

Ко-л-во часов

Ко-л-во часов

№ Урока

№ Урока

Тема урока

Тема урока

Цели

Цели

Теор. материал

Теор. материал

Задачный материал

Задачный материал

Повторение

Повторение

Самост. работа

Самост. работа

Умк

Умк

Контроль

Контроль

В классе

Дома

Решение иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений

Иррацио-нальные уравнения

Иррациональные уравнения, решение иррациональных уравнений

№417, №419, №425

№418, №420, №424

Решение иррациональных уравнений

Другие способы решения иррациональных уравнений

№421 (а, б); №426 (б, г); №148 (в) (стр. 297)

№422 (а, б); №423 (б); №426 (б)

Самостоятельная работа№1 из набора

Актуализировать знания учащихся по данной теме, ввести понятие «иррациональное уравнение», рассмотреть основные способы решения.

Учебник

Самостоятельная работа, проверка д/з

Закрепление изученной темы

Учебник

Самостоятельная, проверка д/з работа

1

Назад

3

4

Подтема

Подтема

Ко-л-во часов

Ко-л-во часов

№ Урока

№ Урока

Тема урока

Тема урока

Цели

Цели

Теор. материал

Теор. материал

Задачный материал

Задачный материал

Повторение

Повторение

Самост. работа

Самост. работа

Умк

Умк

Контроль

Контроль

Проверочная работа

В классе

Дома

Решение иррациональных неравенств

Решение иррациональных неравенств

Познакомить учащихся с основными способами решения иррациональных неравенств

Способы решения иррациональных неравенств

№150 (а, б); №151 (б, г)

№150 (в, г); №151 (а, в)

№148

Самостоятельная работа №2 из набора

Учебник

Самостоятельная работа, проверка д/з

Проверка знаний по изученной теме

Учебник

Проверочная работа

Набор задач

по теме «иррациональные уравнения» Первый уровень:

Назад

Второй уровень

Набор задач по теме «иррациональные уравнения» Второй уровень:

Назад

Иррациональные уравнения

Набор задач по теме «иррациональные уравнения» Третий уровень:

Назад

Иррациональные неравенства

Набор задач по теме «иррациональные неравенства» Первый уровень:

Назад

Набор

задач по теме «иррациональные неравенства» Второй уровень:

Назад

Третий уровень

Набор задач по теме «иррациональные неравенства» Третий уровень:

Назад

Понятие «иррациональное уравнение»

Учащимся даётся карточка с заданием, в котором пропущены некоторые слова. Задача учащихся – заполнить все пропуски к концу урока.

Назад

Определение

Назад.

Определение. Уравнение, в котором переменная содержится _________________________(или под знаком операции возведения в дробную степень), называется иррациональным. Примеры: Основные свойства: 1. Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими. а) Если подкоренное выражение положительно, то значение корня ___________ б) Если подкоренное выражение равно нулю, то значение корня ______________ в) Если подкоренное выражение отрицательно, то значение корня ____________ 2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. а) Если подкоренное выражение положительно, то значение корня __________ б) Если подкоренное выражение равно нулю, то значение корня _____________ в) Если подкоренное выражение отрицательно, то значение корня ___________ Посторонний корень иррационального уравнения – это ______________________________

Актуализация знаний

Вспоминаются свойства степени и арифметического квадратного корня Найдите значение выражения:

Назад

При каких значениях А верно равенство

2) При каких значениях а верно равенство: 3) Вынесите множитель из-под знака корня.

Назад

Внесите множитель под знак корня

4) Внесите множитель под знак корня 5) Освободитесь от иррациональности в знаменателе.

Назад

Общие черты этих уравнений

На доске выписаны иррациональные уравнения, задание – выделить общие черты этих уравнений, после чего сформулировать определение иррационального уравнения.

Назад

Иррациональное уравнение

– это уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Назад

Выбрать те, которые являются иррациональными

После заполнения карточки в конце урока для закрепления из приведённого ниже списка уравнений выбрать те, которые являются иррациональными.

Назад

Работа с задачей

Уравнение: Так как изучение темы проводится в рамках проблемного обучения, то ученики должны сами «открыть» способ решения этого уравнения. Для этого можно предложить набор уравнений с возрастающей сложностью, с помощью решения которых ученики смогут понять, как решать иррациональные уравнения.

Назад

Назад

Назад

Назад

Способы решения иррациональных уравнений

Так, на основе вспомогательных задач, учащиеся сами «открывают» способы решения иррациональных уравнений, так как знания получены самостоятельно, они лучше усваиваются. Так же ученики выписывают основные методы решения уравнений, обосновывают необходимость проверки при решении.

Назад

Работа с теоремой

Теорема. Если от обеих частей уравнения взять одну и ту же немонотонную функцию, которая не изменяет ОДЗ уравнения, то новое уравнение может содержать лишние корни, которые будут входить в ОДЗ исходного уравнения, и поэтому при таком способе решения каждое из найденных решений надо проверить непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Причём эту проверку довести до численного равенства.

Назад

Возведение в квадрат

В данном случае, рассматривается возведение в квадрат или любую другую чётную степень. Рассматриваются два примера: 1) Решая это уравнение, получаем единственное решение x = 5, однако при подстановке в уравнение мы не получим верного равенства. х = 5 - посторонний корень уравнения. Заметим, что x = 5 не входит в ОДЗ исходнго уравнения. Значит ли это, что при решении любого уравнения мы должны находить его ОДЗ?

Назад

Получаем два корня

Рассмотрим второе уравнение: При решении этого уравнения получаем два корня х = 5 и х = 197. Оба корня входят в ОДЗ исходного уравнения, однако при подстановке в исходное уравнение, оказывается, что х = 197 не является корнем исходного уравнения. х = 197 – посторонний корень. В результате учащиеся должны сделать вывод о том, что при решении иррациональных уравнений необходимо делать проверку, даже если корни входят в ОДЗ.

Назад

Посторонние корни

Далее ставится вопрос о том, откуда возникают посторонние корни. - это исходное уравнение. При возведении обеих его частей в квадрат, получим Но корнями этого уравнения буду так же корни уравнения Которые могут и не являться корнями исходного уравнения.

Назад

Эти корни будут посторонними

Для того, чтобы их не включить в ответ, и нужна проверка.

Назад

Самостоятельная работа №1

Назад

Самостоятельная работа №2

Назад

Контрольная работа

Назад

Актуализируемые знания и умения

Знания: алгебраические выражения, значения алгебраических выражений, алгебраические равенства, свойства числовых равенств, правила раскрытия скобок; линия числа: действия на числовом множестве, свойства арифметических действий; понятие уравнения, неравенства, приёмы решения уравнений и неравенств Умения: считать правильно и рационально, работать с уравнением или неравенством, проводить простейшие логические рассуждения.

Назад

Вводимые понятия

Определения: иррациональное уравнение, посторонние корни, иррациональное неравенство, На примере: иррациональные уравнения; иррациональные неравенства, способы решения иррациональных уравнений и неравенств.

Назад

Использованная литература

Алгебра и начала анализа 10-11. под ред. А.Н.Колмогорова, Москва, Просвещение, 2001г. «Математика для поступающих в вузы», Москва, «Дрофа», 1997 г. «Математика. Справочник школьника», Якушева Г., «Слово», 1997 г «Математика. Справочные материалы», В.А.Гусев, А.Г. Мордкович, Москва, «Просвещение», 1988 г. «Математика. Наглядный справочник с примерами», Л.Э.Генденштейн, Москва, «ИЛЕКСА», 2005г.

Назад