Свойства и график показательной функции

Методическая разработка темы: «Показательная функция»

Содержание

Показательная функция Показательные уравнения Показательные неравенства Типовые задачи Тесты Домашняя контрольная работа

Показательная функция

Определение

Свойства

График.

Содержание

Определение

Показательная функция – это функция вида , где x – переменная, - заданное число, >0, ?1.

Примеры:

? К теме

Свойства

показательной функции.

D(y) = R;

E(y) = (0; + ?);

Область определения: все действительные числа Множество значений: все положительные числа При > 1 функция возрастающая; при 0 < < 1 функция убывающая.

? К теме

График

показательной функции.

Т.к. , то график любой показательной функции проходит через точку (0; 1)

У

У

1

1

Х

Х

0

0

? К теме

Показательные уравнения

Простейшие уравнения

Определение

Способы решения сложных уравнений

Содержание

Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени

Определение.

Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным.

Примеры:

? К теме

Простейшее показательное уравнение

– это уравнение вида.

Простейшее показательное уравнение решается с использованием свойств степени.

? К теме

Способы решения сложных показательных уравнений

Замена переменной

Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Деление на показательную функцию

? К теме

Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Данный способ используется, если соблюдаются два условия:

1) основания степеней одинаковы; 2) коэффициенты перед переменной одинаковы

Например:

Решение

Замена переменной

При данном способе показательное уравнение сводится к квадратному.

Способ замены переменной используют, если

А) основания степеней одинаковы;

Б)

показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой. Например: 3 2x – 4 · 3 х – 45 = 0

коэффициенты перед переменной противоположны. Например: 2 2 - х – 2 х – 1 =1

Решение

Решение

Деление на показательную функцию

а) в уравнении вида ax = bx делим на bx Например: 2х = 5х | : 5x б) в уравнении A a2x + B (ab)x + C b2x = 0 делим на b2x. Например: 3?25х - 8?15х + 5?9х = 0 | : 9x

Данный способ используется, если основания степеней разные.

Решение

Решение

Показательные неравенства

Простейшие неравенства

Определение

Решение неравенств

Содержание

Неизвестное содержится в показателе степени

Определение.

Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Примеры:

? К теме

Простейшие показательные неравенства – это неравенства

вида:

Где a > 0, a ? 1, b – любое число.

? К теме

Свойства возрастания или убывания

При решении простейших неравенств используют свойства возрастания или убывания показательной функции.

Для решения более сложных показательных неравенств используются те же способы, что и при решении показательных уравнений.

? К теме

Типовые задачи

Показательная функция Показательные уравнения Показательные неравенства

Содержание

Построение графика

Показательная функция.

Построение графика Сравнение чисел с использованием свойств показательной функции Сравнение числа с 1 а) аналитический способ; б) графический способ.

? Типовые задачи

Построить график функции y = 2x

Задача 1 Построить график функции y = 2x.

? Списку задач

8 7 6 5 4 3 2 1

- 3 - 2 -1 0 1 2 3

У

x

y

-1

0 1

1 2

2 4

3 8

Х

Сравнить числа

Задача 2 Сравнить числа.

Решение

Ответ:

? Списку задач

Сравнить число с 1

Задача 3 Сравнить число с 1.

Решение

Ответ:

-5 < 0

? Списку задач

Cравнить число Р с 1

Задача 4 Cравнить число р с 1.

Р =

Р =

0 < < 1, то функция у = – убывающая

2 > 1, то функция у = 2t – возрастающая.

Ответ: 23 > 1.

Ответ:

> 1

? Списку задач

Уравнения, решаемые заменой

Показательные уравнения.

Простейшие показательные уравнения Уравнения, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателем Уравнения, решаемые заменой переменной случай 1; случай 2. Уравнения, решаемые делением на показательную функцию случай 1; случай 2.

? Типовые задачи

Простейшие показательные уравнения

Ответ: - 5,5.

Ответ: 0; 3.

? Списку задач

Ответ

Вынесение за скобки степени с меньшим показателем.

x + 1 - (x - 2) =

= x + 1 – x + 2 = 3

Ответ: 5

? Списку задач

? К теории

Основания степеней

Замена переменной (сл.1).

3 2x – 4 · 3 х – 45 = 0

t = 3x (t > 0)

3x = 9; 3x = 32; x = 2.

Ответ: 2

t 2 – 4t – 45 = 0 По т. Виета: t1· t 2 = - 45; t1+ t 2 =4 t1 = 9; t 2 = - 5 – посторонний корень

Основания степеней одинаковы, показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой .

? Списку задач

? К теории

Основания степеней одинаковы

Замена переменной (сл. 2).

Ответ: 1

Основания степеней одинаковы, коэффициенты перед переменной противоположны.

? Списку задач

По т. Виета:

- Посторонний корень

? К теории

Ответ: 0

Деление на показательную функцию.

Ответ: 0

? Списку задач

? К теории

Деление

на показательную функцию.

? Списку задач

Ответ: 0; 1.

? К теории

Задачи

Показательные неравенства.

Простейшие показательные неравенства Двойные неравенства Неравенства, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателем Неравенства, решаемые заменой переменной

? Типовые задачи

Простейшие показательные неравенства

? Списку задач

Двойные неравенства

Ответ: (- 4; -1).

3 > 1, то

? Списку задач

Решение показательных неравенств

Метод: Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

: 10

Ответ: х >3

3 > 1, то

? Списку задач

Метод: замена переменной

Решение показательных неравенств.

Метод: Замена переменной

Ответ: х < -1.

3>1, то

? Списку задач

Тесты по темам

Показательная функция и её свойства Показательные уравнения Показательные неравенства

Содержание

Литература

1). Ш. А. Алимов. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений., М. : Просвещение, 2007. 2). Г. В. Дорофеев. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы, М.: ООО «Дрофа», 2002.