Учебник по алгебре

Концепция учебника по алгебре и началам анализа для профильной школы

Доцент кафедры методики и теории преподавания математики в школе Московского городского педагогического университета Надежда Евгеньевна Фёдорова, к. п. н.

Содержание учебников призвано сформировать

· У всех учащихся старших классов представление о математике как о части человеческой культуры, как о средстве моделирования различных явлений природы, жизни и деятельности человека;

.

У учащихся, планирующих cвязать свою дальнейшую, профессиональную деятельность с естественно – научными, техническими, экономическими знаниями – представление о широком применении математических методов в различных теоретических и практических вопросах; сформировать прочные и конкретные знания и умения, позволяющие в дальнейшем использовать математику как средство освоения своих профессиональных знаний.

Содержательные и структурные особенности учебника

первая глава учебника в сжатом виде повторяет традиционное содержание

основной (девятилетней ) школы, что позволит учителю эффективно организовать повторение математики, максимально используя самостоятельную деятельность учащихся (при чтении текстов и решении задач из этой главы). В этой же главе дается краткое изложение элементов теории множеств и логики – вопросов, включенных в содержание нового стандарта математического образования для основной школы.

В связи с возрастными особенностями учащихся традиционный курс алгебры

связанный с элементарными функциями и их исследованием методами элементарной математики предшествует изучению элементов математического анализа;

Ведущей линией курса является числовая линия, что позволяет с самого

начала строить курс с опорой на свойства действительных чисел. В частности, это объясняет тот факт, что основное содержание курса начинается с изучения теории делимости чисел . Числовая линия свое логическое завершение получает в главе «Комплексные числа», рассматриваемой в конце 11класса.

Развивается числовая линия параллельно функциональной, но с некоторым

опережением по времени. Вопросы, связанные с исследованием функции следуют за изучением соответствующих числовых понятий и алгебраических операций.

Простейшие уравнения решаются с опорой на свойства числовых равенств,

а после изучения определенного класса функций решаются более сложные показательные, логарифмически, иррациональные, тригонометрические уравнения. - Решения неравенств рассматриваются после изучения соответствующего класса функций.

Ведущими дидактическими принципами курса является оптимальная

взаимосвязь научности и доступности. Этому способствует разумная простота терминологии, а также стиль и язык изложения учебного материала.

Для учащихся базового уровня изложение ведется конкретно-индуктивным

методом с опорой на практические задачи.Задачи мотивируют значимость вводимых понятий и иллюстрируют основу математических абстракций, показывающих математические модели реальных процессов. Применение теоретического материала на протяжении всего курса иллюстрируется примерами и задачами, решения которых разбираются достаточно подробно.

Изложение теоретического материала для учащихся профильного уровня

ведется на дедуктивной основе. Часть доказательств отдельных положений в профильных классах переносится на самостоятельную работу под руководством учителя (к таким вопросам, например, относятся обоснования ряда равносильных преобразований уравнений, неравенств и их систем). Изучение некоторых понятий происходит с разных точек зрения и в разных разделах ( так, например, бином Ньютона рассматривается и в теории многочленов, и в разделе «Комбинаторика»), что усиливает мировоззренческую составляющую курса.

Система упражнений учебника имеет выделенные 4 уровня сложности: 1)

обязательный базовый; 2) продвинутый базовый; 3) профильный; 4) углубленный профильный.

Упражнения приведены в конце каждого параграфа, в конце каждой главы

(упражнения для тематического повторения) и в конце учебника (для итогового повторения курса). По каждой теме (главе) имеются вопросы для проверки теоретических знаний и практические задания для самоконтроля («Проверь себя!»).

В методических рекомендациях приводятся -Концептуальные особенности

изложения содержания каждой главы в целом; -Формулируются требования к обязательным результатам обучения в общеобразовательных и профильных классах; -Ставятся цели изучения каждого параграфа; приводятся конкретные рекомендации по конструированию учебного процесса для изучения каждой темы; -Предлагается система самостоятельных и контрольных работ по каждой теме; -Приводятся подробные решения наиболее трудных задач учебника; -Даются рекомендации по проведению уроков обобщения и систематизации знаний.

Алгебра и начала математического анализа

10 класс

Тема1

Алгебра 7-9 классов (повторение).

Множества

1) Какие названия применяются для обозначения множества животных; кораблей? 2) Как называют множество артистов, работающих в одном театре; цветов в одной вазе? 3) Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от Северного полюса; имеющих одинаковую долготу? 4) Коза привязана веревкой длиной l к колечку, которое может скользить по другой веревке, натянутой между колышками А и В. Каково множество точек луга, до которых может дотянуться коза?

Логика

№233 (стр. 74) Привести контрпример, опровергающий утверждение: 1) в любой четырехугольник можно вписать окружность; 2) для любого треугольника сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны; 3) сумма чисел с разными знаками есть число отрицательное; 4) в равнобедренном треугольнике один угол тупой.

Тема11

Делимость чисел(10ч.).

Задачи к теме11

§2. Задача 5. Найти последнюю цифру числа §4.Задача 4. Доказать, что натуральное число а, записанное в виде делится на 11 тогда и только тогда,когда делится на 11 сумма

Делимость чисел

Задача 2 (стр. 77) Доказать, что число а = 1610 – 235 делится на 31.

Задачи

1. Доказать, что уравнение 42х+66у=13 не имеет целочисленных решений. 2.Найти все целочисленные решения уравнения 7х+15у =3. 3.Найти все целочисленные решения уравнения х?=у?+7. 4.Доказать, что уравнение х?-у?=1994 не имеет целочисленных решений

Делимость чисел

Задача 4 (стр.88) Доказать, что уравнение х2 – у2 = 1994 не имеет целочисленных решений.

Тема 111

Многочлены. Алгебраические уравнения.(17ч.).

Решить уравнение

х3 – 3х2 + 2 = 0 (5 баллов) х4 – 2х3 – 5х2 + 8х + 4 = 0 (6 баллов) 78х6 – 133х5 + 133х – 78 = 0 (7 баллов).

Теорема

Если рациональное число m\n является корнем целочисленного многочлена то делится на m, а делится на n Задача. Найти все корни многочлена.

Тема 1У

Степень с действительным показателем(11\14ч.).

Свойства степени

1. Теорема. Пусть Сл.1.Пусть Сл.2. Пусть Сл.3. Пусть

Тема У. Степенная функция (13\17ч

).

Свойство функции у=х3

Докажем, что функция не является ограниченной. Т.е. докажем, что для любого С>0 найдется значение хс, такое, что lf(xc)l>C. Пусть , где С-любое положительное число, тогда f(xc)=( )3=2C>С.

Задача

Функция спроса на некоторый товар задана формулой Найти: 1) область определения и множество значений функции спроса; 2) объем спроса при цене 3)функцию, обратную функции спроса, которая описывает зависимость цены за единицу продукции от объема спроса.

Примеры задач

Задача 9. Решить неравенство Задача 10. Решить неравенство

Тема У1

Показательная функция (10\11 ч.).

Примеры задач

Задача 11. Решить уравнение Задача 12. При каких значениях a уравнение имеет два различных корня?

Показательная функция

№44 (стр. 220) Доказать, что уравнение 4х + 25х = 29 имеет только один корень х = 1.

Тема У11

Логарифмическая функция (15\17 ч.).

Логарифмическая функция

Задача 4 (стр.236) Как известно, двухпроцентный вклад в сбербанк, равный а рублям, через р лет становится равным а(1,02)р, а трехпроцентный вклад становится равным а(1,03)р. Через сколько лет каждый из вкладов удвоится?

Задача

66. Вода в исследуемом глубоком озере содержит взвесь, которая уменьшает проходимость света в воде. Эксперименты показали, что интенсивность света уменьшается на 10% при прохождении каждых 20 см воды. Днем измерительный прибор опустили на дно озера и начали постепенно поднимать. На какой глубине d прибор впервые покажет наличие света, если его чувствительность такова, что способна обнаружить 0,17% дневного света?

Тема У111

Тригонометрические формулы(21\24ч.).

Задачи к теме У111

138. Доказать: 148. Доказать, что если 215. Доказать тождество

Тема 1Х

Тригонометрические уравнения (15\21ч).

Задачи к теме 1Х

Задача 9. Решить уравнение Sinx · sin 9x · sin13x = 1. Задача 10. Решить уравнение (cos2x – cos 4x)? = 4+cos?x. Задача 11. Решить уравнение

Задачи Задача 6. Решить неравенство 86

Решить неравенство.

Алгебра и начала математического анализа

11 класс

Тема 1. Тригонометрические функции (18\19 ч.)

Задачи к теме 1

§1. Задача 8. Доказать, что функция y=x sinx не является ограниченной на множестве R. §2. Задача 8. Доказать, что функция y=sin не является периодической. §3. Задача 5. Построить график функции y=x cosx. §4. Задача 3. Исследовать функцию и построить график §6. Задача 5.Построить график функции y=arcsin(sinx)

Тема 11

Производная и ее геометрический смысл (17\25 ч.).

Задачи к теме 11

§2. Задача .1 Исследовать функцию в окрестности точки х=1. Задача 2. Исследовать функцию в окрестности точки х=0 Задача 4. Исследовать функцию в окрестности точки х=1

Задача

Задача 3. Найти числа b и с такие, при которых функция непрерывна в точке х=2

Задачи

60. Тело, масса которого m=5кг, движется прямолинейно по закону s = 1-t +t? (где s выражается в метрах, t- в секундах). Найти кинетическую энергию тела через 10 минут после начала движения. 61. В тонком неоднородном стержне длиной 25 см его масса (в г) распределена по закону m=2l?+3l, где l-длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность:1) в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;2) в конце стержня.

Тема 111

Применение производной к исследованию функций(15\15 ч.).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на

интервале (a;b). Тогда существует точка с? (a;b) такая, что f(b) – f(a) = f '(c) (b – a).

Теорема Лагранжа

Задачи

§2. Задача 4. Найти экстремумы функции f(x) = 5x? - x | x + 1| §3. Задача 5. Найти высоту конуса, имеющего наибольший объем среди всех конусов, вписанных в сферу, радиуса R.

Задача

На координатной плоскости Оху дана точка М(2;4). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины, симметричные относительно оси Оу, лежат на параболе у = 3х?, -1 ?x? 1, а точка М является серединой одной из сторон каждого треугольника. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Теорема

Для того, чтобы прямая y = kx + b была асимптотой графика функции f(x) при х???, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

Тема 1У

Первообразная и интеграл (11\17 ч.).

Задачи к Теме 1У

§3. Задача 7. Вычислить интеграл §5. Задача. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для ее сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н §6. Задача 2. Найти решение у(х) дифференциального уравнения у' = соs x, удовлетворяющее условию у(0)=0.

Тема У. Комбинаторика (8\12 ч.)

Задачи к теме У

Сколько различных шифров можно набрать в автоматической камере хранения, если шифр составляется с помощью любой из тридцати букв русского алфавита с последующим трехзначным числовым кодом? Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 5 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

Тема У1

Элементы теории вероятностей (7\10 ч.).

Задачи к теме У1

1.В лотерее участвуют 15 билетов, среди которых 3 выигрышных. Наугад вынуты 2 билета. Какова вероятность того, что: 1) оба вынутых билета выигрышные; 2)выигрышного билета не оказалось; 3)только один выигрышный? 2.Студент, которому предстояло сдать зачет, знал ответы на 70 вопросов из 90. Какова вероятность того, что он 1) верно ответит на два вопроса; 2) ответит на второй вопрос при условии, что он не знал ответа на первый вопрос?

Тема У11

Комплексные числа (15 ч.).

Задачи к теме У11

§2. Задача 4. Доказать, что для любых двух комплексных чисел справедливо равенство §3. Задача 1. Пусть - разные точки комплексной плоскости. Доказать, что - уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и проходящей через его середину.

§4

52. Найти тригонометрическую форму комплексного числа §5. Задача 6. Записать формулы для сos 4x и sin 4x. §7. Задача 2. Решить уравнение.

Тема У111

Уравнения и неравенства с двумя переменными (8\13 ч.).

§1

Задача 6. Пусть М – множество точек плоскости с координатами (х;у) таких, что числа 3х, 2у, 9-у являются длинами сторон некоторого треугольника. Найти площадь фигуры М. Задача 7. Найти все пары целых чисел х и у, для которых верны неравенства 3y-x<5, x+y>26, 3x-2y<46. §2.Задача 2. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению: 1).

Задачи к главе У111

§2

Задача 6. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству.

Задача 13

Дана система неравенств Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют: 1)первому неравенству системы; 2) первым двум неравенствам системы; 3) всем трем неравенствам системы. §3. Задача 1.Найти все значения а, при которых существует ровно одна пара действительных чисел (х;у), удовлетворяющих уравнению.

Спасибо за внимание