Выражения с логарифмами

Всё о логарифмах

Урок по алгебре и началам анализа Тема Всё о логарифмах.

Методы и приёмы решения логарифмических уравнений

На уроке Применение свойств логарифмах и логарифмической функций. Методы и приёмы решения логарифмических уравнений и неравенств(решение примеров из вариантов ЕГЭ). Применение логарифмов в жизни.

Мини-экзамен

а)(форма ответа-«да», «нет») y=logaX , D(y)=R y=log0.5X , четная y=log 3X, возрастает y=log 3X, имеет экстремум в точке (0;1) log43<1 log0.52>1 Совпадают ли графики функций? f(x)=x+3, g(x)=

Функция

y = loga х (где а > 0, а =1) называется логарифмческой. График логарифмической функции logaх можно построить, воспользовавшись тем, что функция logaх обратна показательной функции y = ax. Поэтому достаточно построить график функции y = ax , а затем отобразить его симметртрично относительно прямой у = х.

Свойства функции

у = logaх.

У = logaх при a > 1; 1.D(f) = (0; + ?); 2.Не является ни четной, ни нечетной; 3.Возрастает на (0; + ?); 4.Не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5.Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6.Непрерывна; 7.E(f) = (- ?;+ ? ); 8.Выпукла вверх; 9.Дифференцируема.

Y = logaх при 0 < a < 1; 1.D(f) = (0;+ ); 2.Не является ни четной, ни нечетной; 3.Убывает на (0; +); 4.Не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5.Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6.Непрерывна; 7.E(f) = (-;+ ); 8.Выпукла вниз; 9.Дифференцируема.

Построение графиков

Изобразить график функции y=ln(x+1)-1. График функции получается в результате сдвига графика функции y = ln x на одну единицу влево (при этом мы получаем функцию y = ln (x + 1)) и на одну единицу вниз

Изобразить график функции

y=|ln x| . График искомой функции y=|ln x| получается в результате следующих преобразований. Часть графика функции , лежащая в области x ? 1, совпадает с графиком функции y = ln x. Остальная часть, соответствующая y < 0 (при 0 < x < 1), отражается относительно оси Оx в верхнюю полуплоскость.

График функции

Изобразить график функции y=|ln|x||. Сначала мы построим график функции y=|ln x| , как описано в предыдущем примере. Затем отразим график этой функции относительно оси Оy в левую полуплоскость. Совокупность этих графиков и представляет собой график искомой функции.

Определение логарифма

б) 1) Определение логарифма 2)Как записывается основное логарифмическое тождество ? 3) Вычислите.

Основные методы решения уравнений

Методы решения уравнений

Функционально графический метод ; по определению логарифма; потенцирование; замена переменных; логарифмирование

Графический метод

Функционально графический метод.

Пример №1: решите уравнение Log5 x=0 Решение: Уравнение log5 x=0 имеет один корень x=1,поскольку график функции y=log5 x пересекает ось х в единственной точке (1;0).

Логарифмические уравнения

Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида loga f(x) = loga g(x), где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

По определению логарифма

Loga x=в x=a , где а?1 и а>0

В

Пример

logx16=2 x =16 х?1 х>0 х1 = 4 х2 = - 4 – не удовлетворяет условию х>0 Ответ: 4

2

Потенцирование

loga f(x) = loga g(x) f(x) = g(x), f(x) > 0, g(x) > 0

Удовлетворяет всем условиям системы

Пример:

logx (x-1) = logx (2x-8) X-1 = 2x-8, x=7, X-1>0, x>1, 2x-8>0, x>4, x?1, x?1, x>0 x>0 x=7 удовлетворяет всем условиям системы Ответ: 7

Замена переменных

loga f(x) + loga f(x) + c=0, loga f(x) = t, f(x)>0 t + t + c = 0 Далее решаем квадратное уравнение Д = t - 4*a*c Находим t1 и t2 Подставляем значения t1 и t2:

2

2

loga f(x)=t1

loga f(x)=t2

2*log0,3

Пример:

2*log0,3 – 7*log0,3 -4 = 0 log0,3 x = t, x>0 2t - 7t - 4 = 0, Д = 49 + 32 = 81, t1 = (7+9) / 4 = 4, t2 = (7-9) / 4 = -1/2 log0,3 x = 4, log0,3 x = -1/2, x1 = 0,0081 x2 = ?30 / 3 Ответ: 0,0081; ?30 / 3

2

2

Логарифмирование

f(x) = g(x) f(x)>0, g(x)>0 loga f(x) = loga g(x)

Прологарифмируем обе части

x = 0,04 Прологарифмируем обе части по основанию 5. log5x = log50,04 Учтем, что log5x = r*log5x и что log50,04 = -2, следовательно уравнение можно привести к следующему виду: (1-log5x) * log5x = -2 log5x = y (1-y) * y = -2 y? - y – 2 = 0, log5x = 2, log5x = -1 x = 25 x = 1/5 Ответ: 1/5; 25.

Пример:

1- log5x

1- log5x

r

Логарифмические системы уравнений

log5(x+y)=1 log5(x+y)=1 x + y=5 log6x+log6y=1 log6xy=1 x * y=6 x=5-y 3) x1=5-3=2 (5-y)*y=6 x2=5-2=3 5y-y?-6=0 y?-5y+6=0 Д = 25-24=1 y1=(5+1)/2=3 y2=(5-1)/2=2 Ответ : (2;3),(3;2).

Методы решения неравенств

Логарифмические неравенства

Равносильные преобразования

f(x)>g(x)>0,

?

a>1.

1) loga f(x) > loga g(x)

0<f(x)<g(x),

?

0<a<1.

f(x)>g(x)>0,

h(x)>1.

2) logh(x) (x)>logh(x)g(x)

?

0<f(x)<g(x),

0<h(x)<1.

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим неравенством.

H(x)-1

(h(x)-1)(f(x)-g(x))>0, h(x)>0, f(x)>0, g(x)>0.

3) logh(x)f(x)>logh(x)g(x)

?

Пример: log7-x(x2 -5x+6)>log7-x (2x-4) Решение: (7-x-1)(x2-5x+6-2x+4)>0 7-x>0, 7-x?1, x2 -5x+6>0, 2x-4>0.

?

xє(5;6)

A-1

(a-1)(b-1)(c-1)(c-a)>0, a>0,a?1, c>0,c?1, b>0.

4) logab - logcb>0

?

Пример:

logx(x-1) - logx+1(x-1)<0

Решение:

(x-1)(x-1-1)(x+1-1)(x+1-x)<0

x>0,

x(x-1)(x-2)<0, x>1.

?

?

xє(1;2)

x-1>0, x+1>0.

Замена переменной

(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)>0, a>0,a?1, b>0, c>0,c?1, d>0.

6) logab ? logcd>0 ?

Замена переменной

t=logax, f(t)>0.

5) f(logax)>0

?

Логарифмы на ЕГЭ

Найдите корень уравнения

В3. Найдите корень уравнения 2-lg(10-x)=0.

Решение. Найдем О.Д.З.: x<10. Преобразуем данное уравнение: -lg(10-x)=-2 lg(10-x)=2 Решим получившееся уравнение по определению логарифма: 10-x=102 -x=90 x=-90. Найденный корень уравнения удовлетворяет О.Д.З. Ответ: -90 .

Преобразуем числитель

Решение. Преобразуем числитель: loga(b3)*logba = logbb3 = 3*logbb = 3 У нас получилось следующее выражение: 3/(a*b) Теперь подставим значения a и b в получившееся выражение: 3/(3*5)=0,2 . Ответ: 0,2 .

В4. Найти значение выражения (logа(b3)*logba)/(a*b), если a=3, b=5

Наибольшее значение функции

В11. Найдите наибольшее значение функции y=log1/3 ?(x3) на отрезке [1/3;3].

Решение. Рассмотрим функцию y=log1/3f(x) – она убывающая, следовательно принимает наибольшее значение при наименьшем значении функции f(x). Функция f(x)=?(x3) возрастающая и определена на промежутке (0;+?), т.е. наименьшее значение принимает при наименьшем значении x. yнаиб=y(1/3)=log1/3?(1/27)=log1/3(1/3)3/2=3/2*log1/3(1/3)=1,5 Ответ: 1,5.

Решите неравенство

С3. Решите неравенство 7^log72x+x^log7x<14.

Решение. Найдем О.Д.З.: x>0. Представим x как 7^log7x и подставим в данное неравенство: 7^log72x+ 7^log72x<14 и решим его: 2* 7^log72x<14 7^log72x<7, 7>1 log72x<1 -1<log7x<1, основание логарифма больше единицы, значит при потенцировании знак неравенства не поменяется: 1/7<x<7 Данный промежуток удовлетворяет О.Д.З. Ответ: (1/7;7) .

Примеры из вариантов ЕГЭ

Самостоятельная работа в виде теста (примеры из вариантов егэ).

1. Вычислите: 1. Вычислите: 1)8 2)2 3)3 4)4 1)13 2)2 3)17 4)-169 2. 2. 1)-6 2)6/49 3)6 4) а-49 1)-1 2)9 3)4 4)0,8 3. Вычислите: 3.Вычислите: 1)13 2)9 3)22 4)5 1)17 2)4 3)14 4)23 4. Найдите область определения функции 4. 4. 5. Вычислите: 5. Вычислите: Составьте число из номеров правильных ответов. Проверим ответы.

Логарифмы в жизни

Звезды, шум и логарифмы

Заголовок этот, связывающий столь, казалось бы, несоединимые вещи, не притязает быть пародией на произведения Кузьмы Пруткова; речь в самом деле пойдет о звездах и о шуме в тесной связи с логарифмами.

Шум и звезды

Звезды, шум и логарифмы.

Шум и звезды объединяются здесь потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале.

Астрономы

Звезды, шум и логарифмы.

Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т. д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Звезда, например, третьей величины ярче звезды первой величины в 2,53-1, т. е. в 6,25 раза. Короче говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

Громкость шума

Звезды, шум и логарифмы.

Сходным образом оценивается и громкость шума. Вредное влияние шумов на здоровье людей побудило изучению шумов,к их классификации, к созданию определённых стандартов и эталонов. Единицей громкости служит «бел», практически - его десятая доля, «децибел». Последовательные степени громкости - 1 бел, 2 бела и т. д. (практически- 10 децибел, 20 децибел и т. д.)--составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов (точнее - энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, вы­раженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

Величина громкости

N~lg S, где N - величина громкости; S – сила звука.

Звезды, шум и логарифмы

Зависимость величины громкости от его физической характеристики

Формула зависимости

Громкость

Звезды, шум и логарифмы.

Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превосходится: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка в стальную плиту порождают шум в 11 бел. Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое - следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

Музыка и логарифмы

Никто и предположить не мог, что музыка и логарифмы связаны между собой. Известный физик Эйхенвальд вспоминал: “Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. “Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова – то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой”. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах”.

Зависимость частоты колебаний

Музыка и логарифмы.

Зависимость частоты колебаний ноты «до» в разных октавах: Номер октавы Частота 0 n 1 2n 2 nx22 … … m nx2m

Формула для нахождения частоты звука

Музыка и логарифмы.

Формула для нахождения частоты звука N=nx2mx(12 2 )p где P – номер ноты хроматической 12-ти звуковой гаммы m – номер гаммы