Законы о множествах

Теория множеств

Теоремы теории множеств

Лучший математик

Задание.

Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные? Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные? Каждый десятый математик – шахматист, а каждый шестой шахматист – математик. Кого больше – шахматистов или математиков и во сколько раз?

Пример доказательства

Доказать, что для произвольных множеств A и B если A ? B, то В ? A. Необходимо доказать, что В ? A, поэтому структура доказательства будет иметь вид «Пусть a ? B, тогда…,…, тогда a ? A». Пусть a ? B, тогда по определению дополнения a ? U \ B. Из определения разности множеств из того, что a ? U \ B, следует, что a U и a ? B. По условию задачи известно, что A ? B, т.е., что все элементы множества A есть в множестве B. Так как a ? B, то элемента a в множестве B нет, а следовательно его нет и в множестве A. Если элемента a нет в множестве A, то можно записать, что a ? A. Итак, мы установили, что a ? U и a ? A, а это значит, что a ? A. Аналогично доказывается обратное утверждение если B ? A, то A ? B.

Доказать

относительно данного универсального множества U дополнение A любого множества A, если A?U, единственно. Для доказательства единственности дополнения A множества A?U предположим, что существует два множества B и C, каждое из которых удовлетворяет требованиям дополнения множества A, т.е. их пересечение с A пусто, а объединение с A дает U: а) B?A=?; б) C?A=?; в) B?A=U; г) C?A=U. Очевидно, что B=B?U. С учетом условия г) B=B?(C?A) =. Так как B?(C?A)=(B?C)?(B?A), то с учетом условия а) B=(B?C)??=B?C. Аналогично, исходя из условий в), б) получим: C=C?U=С?(B?A )= (C?B)?(C?A)=(C?B)??=C?B. Итак, мы получили, что B=B?C и C=C?B. Так как C?B=B?C (коммутативность операции пересечения), то B=C, что и требовалось доказать.

Основные законы теории множеств

1. Коммутативность операций ? и ?: а) A?B=B?A б) A ? B=B ? A 2. Ассоциативность операций ? и ?: а) A?(B?C)=(A?B) ?C б) A?(B?C)=(A?B) ?C 3. Законы идемпотентности операций ? и ?: а) A?A=A б) A?A=A 4. Законы дистрибутивности: а) A?(B?C)=(A?B) ? (A?С) б) A?(B?C)=(A?B) ? (A?С) 5. Законы поглощения: а) A?(A?B)=A б) A?(A?B)=A 6. Законы де Моргана: а) A ?B =A ? B б) A ? B = A ?B 7. Законы пустого и универсального множеств: A??=A A??= ? A? A=? A?U=U A?U=A A? A=U U =? ? =U 8. Закон двойного отрицания: A = A

Доказать

что:

A?A; если A?B и B?C, то A?C; A?B?A?A?B; A?B?B?A?B; A\B?A.

Знак из множества

Определить.

Какой знак из множества {=, ?, ?, ?} можно поставить вместо символа «?», чтобы полученное утверждение было верным. {1, 3} ? {1, 2, 3}, {2, 3, 4} ? {1, 2, 3}, {{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}} ? {1, 2, 3}, {{1, 2}, {2, 3}} ? {1, 2, 3}, {{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}} ? {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}, {(2, 1), (3, 2)} ? {(1, 2), (2, 3)}, {{1, 2}, {2, 3}} ? {{2, 1}, {3, 2}, {1, 3}}, {1, 2, 3} ? {x|x делитель 6}, ? ? {?}.

Какие из равенств верны

Определить.

Какие из равенств верны для любых множеств А, В и С, привести подробное доказательство верных равенств. (A?B)?C=(А?С)?(В?С); (A?B)?C=(А?С)?(В?С); (A?B)\C=(А\С)?В; (A?B)\C=(А\С)?В; А\(В?С)=(А\В)?(А\С); А\(В?С)=(А\В)?(А\С).

Доказать

A?B?C?A?C и B?C, A?B?C ? A?B и A?C, A?B?C ? A?B?C, A?B?C\B?C\A, A?B=A?B?A=B, A=B ? A?B=? и A?B=U, A?(A?B)=B, A?B=A?B?(A?B), A?B=(A?B)?(A?B),

Доказать

A\B=A?(A?B), A?B=??A=B, A?B=??A?B=A?B, A?(B?C)=(A?B)?(A?C), (A?B)?A=(A?B)?A=A, A?(B\A)=?, (A?B)?(C?D)=(A?C)?(B?C)?(A?D)?(B?D).

Задачи

Среди математиков каждый седьмой - философ, а среди философов каждый девятый - математик. Кого больше, философов или математиков? В гимназии все ученики знают хотя бы один из древних язы- ков — греческий или латынь, а некоторые — оба языка. 85% всех ребят знают греческий язык и 75% знают латынь. Какая часть учащихся знает оба языка? Какие трехзначные числа можно составить из цифр 3, 7 и 1 при условии, что в записи не должно быть одинаковых цифр? Сколько таких чисел?

Даны 1985 множеств

Задачи.

Даны 1985 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов, причём объединение любых двух множеств содержит ровно 89 элементов. Сколько элементов содержит объединение всех этих 1985 множеств? Собрались 12 волейболистов и 9 теннисистов, а всего – 16 человек. Сколько из них играют и в волейбол, и в теннис? Множество А содержит 5 элементов, множество В – 4 элемента, а их пересечение содержит 2 элемента. Сколько элементов содержит объединение множеств А и В?

Из 100 студентов педагогику сдали 28 человек

Задание.

Из 100 студентов педагогику сдали 28 человек, математику - 30 человек, философию - 42 человека, педагогику и математику - 8, математику и философию - 5, педагогику и философию - 10, все три экзамена - 3 человека. Сколько человек не сдало ни одного экзамена? Дано множество А = {1, 2, 3, {1}, {1, 2}}. Укажите, какие из следующих объектов являются элементами множества А, и какие - подмножествами: 2; {2}; {1, 2}; {1, 3}; {1, {1}}; {{1}}; {1, {2}}, {1,2,{1, 2}}.

В Союзе писателей 32 человека

Задания.

В Союзе писателей 32 человека, из них 17 поэтов и 19 прозаиков. Сколько человек пишут и стихи и прозу? Из группы студентов на занятия физкультурой ходят 20 человек, а в секции - 18, причем 15 человек одновременно ходят и в секции и на занятия по физкультуре. Сколько студентов освобождены от занятий спортом, если всего в группе 25 человек? Составьте множество двухзначных чисел, в записи которых используются лишь цифры 2, 5 и 8. Найдите пересечение этого множества со множеством четных чисел.